Заметим, что уравнение имеет смысл для положительных значений переменной и для отличных от 1 положительных значений параметра. Запишем уравнение в виде $a в степени x + 1 - a ^2 + \log_{a} x=0$ и рассмотрим функцию $f ( x ) =a в степени x + 1 - a ^2 + \log_{a} x$ При каждом допустимом значении параметра функция f непрерывна на всей области определения, причём для любых $0 меньше a меньше 1$ функция f является убывающей, а для любых $a больше 1$   — возрастающей. Поэтому для каждого допустимого значения параметра уравнение имеет не более одного решения. Из непрерывности функции следует, что корень уравнения находится в промежутке [1; 2] тогда и только тогда, когда $f ( 1 ) \cdot f ( 2 ) \leqslant0$ Применяя теорему о знаках, имеем:

$( a + 1 - a ^2 ) ( 1 + \log_{a} 2 ) \leqslant0 = сильно ( a - a ^2 + 1 ) ( \log_{a} a - \log_{a} 0,5 ) \leqslant0 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 0 меньше a не = 1 \\[6pt] ( a ^2 - a - 1 ) ( a - 1 ) ( a - 0 \\[6pt] 5 ) \geqslant0 \end{cases}$$$ $( a + 1 - a ^2 ) ( 1 + \log_{a} 2 ) \leqslant0 = сильно$
$ = сильно ( a - a ^2 + 1 ) ( \log_{a} a - \log_{a} 0,5 ) \leqslant0 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 0 меньше a не = 1 \\[6pt] ( a ^2 - a - 1 ) ( a - 1 ) ( a - 0 \\[6pt] 5 ) \geqslant0 \end{cases}$$$

откуда $0,5 меньше или = a меньше 1$ или $a больше или = \frac{1 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2}$

Ответ: $a принадлежит [ $\frac{1}{2}$ ; 1 ) \cup [ \frac{1 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} ; + бесконечность )$