Преобразуем уравнение

$( $\frac{x - 1}{x ^2 + 1}$ - a ) ^2 =0,25$ $\frac{x - 1}{x ^2 + 1} =a\pm 0,5$

Выясним, сколько корней имеет уравнение $\frac{x - 1}{x ^2 + 1} =b$ в зависимости от b.

$bx ^2 - x + b + 1=0$

Если $b=0$ то корень только $x=1$ В остальных случаях вычислим дискриминант.
Его дискриминант равен $1 - 4b ( b + 1 ) = - 4b ^2 - 4b + 1$ Это положительно при $b принадлежит ( \frac{ - 1 - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} ;0 ) \cup ( 0; \frac{ - 1 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} )$ = нулю на концах этого промежутка и отрицательно при прочих b.
Поскольку нам нужно, чтобы было три корня, одно из уравнений должно иметь один корень, а другое два.
Случай 1. $a=\pm 0,5$ Тогда одно из уравнений имеет единственный корень $x=1$ а второе не имеет корней при $a=0,5$ так как $1\not принадлежит ( \frac{ - 1 - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} ;0 ) \cup ( 0; \frac{ - 1 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} )$ имеет два корня при $a= - 0,5$ так как $ - 1 принадлежит ( \frac{ - 1 - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} ;0 ) \cup ( 0; \frac{ - 1 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} )$
Случай 2. $a= \frac{ - 1\pm $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} \pm 0,5$ Это дает варианты $\frac{ - 1 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} + 0,5$ и $\frac{ - 1 - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} - 0,5$ которые не подходят (для них одно из чисел $a\pm 0,5$ дает один корень, а второе ни одного), и варианты $\frac{ - 1 - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} + 0,5$ и $\frac{ - 1 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} - 0,5$ которые подходят (для них одно из чисел $a\pm 0,5$ дает один корень, а второе два).

Ответ: $a= - 0,5$ $a= \frac{ - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2}$ $a= \frac{ - 2 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2}$