Сделаем замену $1 - a=b, \sin x=t$ Получим такую задачу: $y= \frac{t + 2b}{t ^2 - b}$ принимает все значения от 1 до 2 на отрезке  $[ - 1;1 ]$
Разберем сначала случай, когда дробь сократима. Тогда $4b ^2 - b=0$ $b=0$ или $b= \frac{1}{4}$
Если $b=0$ получаем функцию $y= \frac{1}{t}$ принимающую все нужные значения при $t принадлежит [ 0,5; 1 ]$ $t=0$ не потребовалось, поэтому такой случай нас устраивает.
Если $b= \frac{1}{4}$ получаем функцию $y= \frac{1}{t - 0,5}$ не принимающую значения 1 при $t принадлежит [ - 1; 1 ]$ Поэтому такой случай нас не устраивает.
В остальных случаях дробь несократима и поэтому уравнение $\frac{t + 2b}{t ^2 - b} =c$ = сильно уравнению $t + 2b=c ( t ^2 - b )$ то есть $ct ^2 - t - ( c + 2 ) b=0$ Поэтому необходимо и достаточно, чтобы при всех $c принадлежит [ 1;2 ]$ функция $y=ct ^2 - t$ принимала значение $( c + 2 ) b$ на отрезке $[ - 1;1 ]$ Найдем ее минимальное и максимальное значение на этом отрезке. Очевидно, минимальное будет при $t= \frac{1}{2c}$ (вершина параболы, лежит на $[ - 1;1 ]$ ), а наибольшее  — при $t= - 1$ $c + 1$ Итак, требуется, чтобы $c + 1 больше или = ( c + 2 ) b$ и $ - $\frac{1}{4c}$ меньше или = ( c + 2 ) b$ при любом c из $[ 1;2 ]$
То есть $\frac{c + 1}{c + 2} больше или = b больше или = \frac{ - 1}{4c ( c + 2 )}$ при любом c из $[ 1;2 ]$ Учитывая монотонность функций $y= $\frac{c + 1}{c + 2}$ ,y= \frac{ - 1}{4c ( c + 2 )}$ на этом отрезке, нужно только чтобы $\frac{2}{3} больше или = b больше или = \frac{ - 1}{32}$
Значит $b принадлежит [ - $\frac{1}{32}$ ; $\frac{1}{4}$ ) \cup ( $\frac{ц}{е}$ лая часть: 14, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 ]$ тогда $a принадлежит [ $\frac{1}{3}$ ; $\frac{3}{4}$ ) \cup ( $\frac{3}{4}$ ; $\frac{33}{32}$ ]$

Ответ: $[ $\frac{1}{3}$ ; $\frac{3}{4}$ ) \cup ( $\frac{3}{4}$ ; $\frac{33}{32}$ ]$