Сделаем замену $2 в степени x =t$ Тогда полученное уравнени должно будет иметь единственный положительный корень.

$ta - $\frac{2t + 1}{t - 1}$ =2a + 2$
$t ^2 a - ta - 2t - 1=2at + 2t - 2a - 2$
$at ^2 - t ( 3a + 4 ) + ( 1 + 2a ) =0$

Заметим сразу, что $t=1$ никогда не является корнем этого уравнения, поэтому умножение на $t - 1$ было = сильным преобразованием.
Случай 1. Это не квадратное уравнение ( $a=0$ ). Тогда $ - 4t + 1=0 = сильно t= \frac{1}{4}$ что удовлетворяет условию.
Случай 2. Это квадратное уравнение, у которого имеется единственный корень. Тогда

$( 3a + 4 ) ^2 - 4a ( 1 + 2a ) =a ^2 + 20a + 16= ( a + 10 ) ^2 - 84=0$

откуда $a= - 10\pm $\sqrt{аргумента: 84}$ аргумента$ Поскольку этот единственный корень равен $\frac{3a + 4}{2a}$ то он, очевидно, положителен при $ - 10 - $\sqrt{аргумента: 84}$ аргумента$ и отрицателен при $ - 10 + $\sqrt{аргумента: 84}$ аргумента больше - 1$
Случай 3. У этого уравнения два корня, но лишь один из них положительный. Тогда их произведение неположительно.
Если $a= - \frac{1}{2}$ то один из корней отрицателен, а второй равен нулю. Это не подходит.
Если же $\frac{1 + 2a}{a} меньше 0$ то есть $a принадлежит ( - 0,5;0 )$ то $( a + 10 ) ^2 - 84 больше или = 9,5 ^2 - 84=6,25 больше 0$ поэтому корни в самом деле есть, и ровно один из них положительный, что и требуется.

Ответ: $a принадлежит \{ - 10 - $\sqrt{аргумента: 84}$ аргумента \} \cup ( - 0.5;0 ]$