В вершинах треугольника записано по натуральному числу, па каждой стороне — произведение чисел, записанных в её концах, а внутри треугольника — произведение чисел, записанных в его вершинах. Сумма всех семи чисел равна 1000. Какие числа записаны в вершинах треугольника?
💡 Пошаговый разбор и решение:
Пусть в вершинах треугольника стоят числа $a,b,c$ Из условия следует равенство:
$abc + ab + ac + bc + a + b + c=1000$
Добавим к обеим частям единицу:
$abc + ab + ac + bc + a + b + c + 1=1001$
$ab ( c + 1 ) + a ( c + 1 ) + b ( c + 1 ) + c + 1=7 \cdot 11 \cdot 13$
$( c + 1 ) ( ab + a + b + 1 ) =7 \cdot 11 \cdot 13$
$( c + 1 ) ( a + 1 ) ( b + 1 ) =7 \cdot 11 \cdot 13$
Ясно, что все скобки в левой части больше единицы, а все множители в правой части — простые числа. Значит, с точностью до перестановки, числа $a + 1$ $b + 1$ $c + 1$ равны 7, 11, 13. Значит, числа в вершинах треугольника на единицу меньше и равны 6, 10, 12.
Ответ: 6, 10, 12.
$abc + ab + ac + bc + a + b + c=1000$
Добавим к обеим частям единицу:
$abc + ab + ac + bc + a + b + c + 1=1001$
$ab ( c + 1 ) + a ( c + 1 ) + b ( c + 1 ) + c + 1=7 \cdot 11 \cdot 13$
$( c + 1 ) ( ab + a + b + 1 ) =7 \cdot 11 \cdot 13$
$( c + 1 ) ( a + 1 ) ( b + 1 ) =7 \cdot 11 \cdot 13$
Ясно, что все скобки в левой части больше единицы, а все множители в правой части — простые числа. Значит, с точностью до перестановки, числа $a + 1$ $b + 1$ $c + 1$ равны 7, 11, 13. Значит, числа в вершинах треугольника на единицу меньше и равны 6, 10, 12.
Ответ: 6, 10, 12.
Правильный ответ:
6, 10, 12
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67594 • Задание №13
а) Решите уравнение $2 синус x плюс корень из 2 тангенс x=0$
б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку...
ID 68443 • Задание №14
В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера к...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...