График левой части уравнения представляет собой несколько соединенных концами отрезков и лучей, поскольку функция там  — кусочно-линейная (при любом раскрытии модулей получается какая-то линейная функция). При $xarrow \pm бесконечность$ левая часть стремится к $ + бесконечность$ Поэтому для существования решения необходимо и достаточно, чтобы в одной из «точек сочленения» значение функции не превосхоило правой части. Подставим $x=a ^2 + 3,x=a + 2,x=3a + 1$ Получим

При $x=a ^2 + 3$ : $|a ^2 - a + 1| + |a ^2 - 3a + 2| меньше или = a ^2 - a + 1$ $|a ^2 - 3a + 2| меньше или = 0$ $a=1$ или $a=2$

При $x=a + 2$ : $|a ^2 - a + 1| + |2a - 1| меньше или = a ^2 - a + 1$ $|2a - 1| меньше или = 0$ $a= \frac{1}{2}$

При $x=3a + 1$ : $|a ^2 - 3a + 2| + |2a - 1| меньше или = a ^2 - a + 1$ учитывая что $a ^2 - 3a + 2 + 2a - 1=a ^2 - a + 1$ это возможно только при $a ^2 - 3a + 2 больше или = 0$ и $2a - 1 больше или = 0$ то есть при $a принадлежит [ $\frac{1}{2}$ ; 1 ] \cup [ 2; бесконечность )$

Ответ: $[ $\frac{1}{2}$ ; 1 ] \cup [ 2; бесконечность )$