Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
$( x ^3 - 3 x ^2 - 9 x + 3 - 0,5 a ) ( 2 \sin x \cos x + 2 \cos ^2 x - 4 \sin ^2 x - 1 - a ) = 0$
имеет ровно три различных решения.
$( x ^3 - 3 x ^2 - 9 x + 3 - 0,5 a ) ( 2 \sin x \cos x + 2 \cos ^2 x - 4 \sin ^2 x - 1 - a ) = 0$
имеет ровно три различных решения.
💡 Пошаговый разбор и решение:
Уравнение = сильно совокупности:
$\left[ \begin{array}{l} 2 \sin x \cos x + 2 \cos ^2 x - 4 \sin ^2 x - 1 - a=0, ( 1 ) x ^3 - 3 x ^2 - 9 x + 3 - 0,5 a=0 ( 2 ) \end{array} \right.$
Заметим, что если число x0 является корнем уравнения (1), то все числа $x_0 + 2 \pi k, k принадлежит Z$ тоже являются корнями этого уравнения. Значит, исходное уравнение имеет ровно три различных корня, тогда и только тогда, когда уравнение (1) не имеет корней, а уравнение (2) имеет ровно три различных корня.
Преобразуем уравнение (1):
$2 \sin x \cos x + 2 \cos ^2 x - 4 \sin ^2 x - 1 - a=0 = сильно \sin 2x + 6 \cos ^2 x - 5 - a=0 = сильно$
$ = сильно \sin 2x + 3 \cos 2x=a + 2 = сильно \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} \sin 2x + \frac{3}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} \cos 2x= \frac{a + 2}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} = сильно \sin ( 2x + \arccos \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} ) = \frac{a + 2}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента}$ $2 \sin x \cos x + 2 \cos ^2 x - 4 \sin ^2 x - 1 - a=0 = сильно$
$ = сильно \sin 2x + 6 \cos ^2 x - 5 - a=0 = сильно \sin 2x + 3 \cos 2x=a + 2 = сильно$
$ = сильно \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} \sin 2x + \frac{3}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} \cos 2x= \frac{a + 2}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} = сильно \sin ( 2x + \arccos \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} ) = \frac{a + 2}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента}$ $2 \sin x \cos x + 2 \cos ^2 x - 4 \sin ^2 x - 1 - a=0 = сильно$
$ = сильно \sin 2x + 6 \cos ^2 x - 5 - a=0 = сильно \sin 2x + 3 \cos 2x=a + 2 = сильно$
$ = сильно \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} \sin 2x + \frac{3}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} \cos 2x= \frac{a + 2}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} = сильно$
$ = сильно \sin ( 2x + \arccos \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} ) = \frac{a + 2}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента}$ $2 \sin x \cos x + 2 \cos ^2 x - 4 \sin ^2 x - 1 - a=0 = сильно$
$ = сильно \sin 2x + 6 \cos ^2 x - 5 - a=0 = сильно$
$ = сильно \sin 2x + 3 \cos 2x=a + 2 = сильно$
$ = сильно \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} \sin 2x + \frac{3}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} \cos 2x= \frac{a + 2}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} = сильно$
$ = сильно \sin ( 2x + \arccos \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} ) = \frac{a + 2}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента}$
Полученное уравнение не имеет решений при
$\left[ \begin{array}{l} \frac{a + 2}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} меньше - 1, \frac{a + 2}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} больше 1 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} a меньше - 2 - $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента , a больше - 2 + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента . \end{array} \right.$
Уравнение (2) запишем в виде
$0,5 a = x ^3 - 3 x ^2 - 9 x + 3$
Рассмотрим функцию $y ( x ) =x ^3 - 3 x ^2 - 9 x + 3$ определенную на множестве действительных чисел, и исследуем её. Поведение на бесконечности:
$\lim_x\to - бесконечность y ( x ) = - бесконечность$ $\lim_x\to + бесконечность y ( x ) = + бесконечность$
Найдем производную, отметим на рисунке промежутки монотонности функции, определим значения в точках экстремума:
[рис.]
$y' ( x ) =3x ^2 - 6x - 9=3 ( x ^2 - 2x - 3 ) =3 ( x + 1 ) ( x - 3 )$
$y_max = y ( - 1 ) = - 1 - 3 + 9 + 3=8$ $y_min = y ( 3 ) =27 - 27 - 27 + 3= - 24$
Тогда уравнение (2) имеет ровно три различных корня при
$ - 24 меньше 0,5a меньше 8 = сильно - 48 меньше a меньше 16$
Значит, исходное уравнение имеет ровно три различных корня при
$$$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} a меньше - 2 - $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \\[6pt] a больше - 2 + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \end{cases}$$ . - 48 меньше a меньше 16 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} - 48 меньше a меньше - 2 - $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента , - 2 + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента меньше a меньше 16. \end{array} \right.$
Ответ: $( - 48; - 2 - $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента ) \cup ( - 2 + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента ; 16 )$
$\left[ \begin{array}{l} 2 \sin x \cos x + 2 \cos ^2 x - 4 \sin ^2 x - 1 - a=0, ( 1 ) x ^3 - 3 x ^2 - 9 x + 3 - 0,5 a=0 ( 2 ) \end{array} \right.$
Заметим, что если число x0 является корнем уравнения (1), то все числа $x_0 + 2 \pi k, k принадлежит Z$ тоже являются корнями этого уравнения. Значит, исходное уравнение имеет ровно три различных корня, тогда и только тогда, когда уравнение (1) не имеет корней, а уравнение (2) имеет ровно три различных корня.
Преобразуем уравнение (1):
$2 \sin x \cos x + 2 \cos ^2 x - 4 \sin ^2 x - 1 - a=0 = сильно \sin 2x + 6 \cos ^2 x - 5 - a=0 = сильно$
$ = сильно \sin 2x + 3 \cos 2x=a + 2 = сильно \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} \sin 2x + \frac{3}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} \cos 2x= \frac{a + 2}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} = сильно \sin ( 2x + \arccos \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} ) = \frac{a + 2}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента}$ $2 \sin x \cos x + 2 \cos ^2 x - 4 \sin ^2 x - 1 - a=0 = сильно$
$ = сильно \sin 2x + 6 \cos ^2 x - 5 - a=0 = сильно \sin 2x + 3 \cos 2x=a + 2 = сильно$
$ = сильно \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} \sin 2x + \frac{3}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} \cos 2x= \frac{a + 2}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} = сильно \sin ( 2x + \arccos \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} ) = \frac{a + 2}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента}$ $2 \sin x \cos x + 2 \cos ^2 x - 4 \sin ^2 x - 1 - a=0 = сильно$
$ = сильно \sin 2x + 6 \cos ^2 x - 5 - a=0 = сильно \sin 2x + 3 \cos 2x=a + 2 = сильно$
$ = сильно \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} \sin 2x + \frac{3}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} \cos 2x= \frac{a + 2}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} = сильно$
$ = сильно \sin ( 2x + \arccos \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} ) = \frac{a + 2}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента}$ $2 \sin x \cos x + 2 \cos ^2 x - 4 \sin ^2 x - 1 - a=0 = сильно$
$ = сильно \sin 2x + 6 \cos ^2 x - 5 - a=0 = сильно$
$ = сильно \sin 2x + 3 \cos 2x=a + 2 = сильно$
$ = сильно \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} \sin 2x + \frac{3}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} \cos 2x= \frac{a + 2}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} = сильно$
$ = сильно \sin ( 2x + \arccos \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} ) = \frac{a + 2}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента}$
Полученное уравнение не имеет решений при
$\left[ \begin{array}{l} \frac{a + 2}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} меньше - 1, \frac{a + 2}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента} больше 1 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} a меньше - 2 - $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента , a больше - 2 + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента . \end{array} \right.$
Уравнение (2) запишем в виде
$0,5 a = x ^3 - 3 x ^2 - 9 x + 3$
Рассмотрим функцию $y ( x ) =x ^3 - 3 x ^2 - 9 x + 3$ определенную на множестве действительных чисел, и исследуем её. Поведение на бесконечности:
$\lim_x\to - бесконечность y ( x ) = - бесконечность$ $\lim_x\to + бесконечность y ( x ) = + бесконечность$
Найдем производную, отметим на рисунке промежутки монотонности функции, определим значения в точках экстремума:
[рис.]
$y' ( x ) =3x ^2 - 6x - 9=3 ( x ^2 - 2x - 3 ) =3 ( x + 1 ) ( x - 3 )$
$y_max = y ( - 1 ) = - 1 - 3 + 9 + 3=8$ $y_min = y ( 3 ) =27 - 27 - 27 + 3= - 24$
Тогда уравнение (2) имеет ровно три различных корня при
$ - 24 меньше 0,5a меньше 8 = сильно - 48 меньше a меньше 16$
Значит, исходное уравнение имеет ровно три различных корня при
$$$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} a меньше - 2 - $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \\[6pt] a больше - 2 + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента \end{cases}$$ . - 48 меньше a меньше 16 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} - 48 меньше a меньше - 2 - $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента , - 2 + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента меньше a меньше 16. \end{array} \right.$
Ответ: $( - 48; - 2 - $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента ) \cup ( - 2 + $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента ; 16 )$
Правильный ответ:
$левая круглая скобка минус 48; минус 2 минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 2 плюс корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ; 16 правая круглая скобка$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 70798 • Задание №18
Найдите все значения a, при каждом из которых любое число из отрезка $3 меньше или равно x меньше или равно 6$...
ID 69105 • Задание №15
Решите неравенство $5 в степени левая круглая скобка \tfracx в квадрате минус 7|x| плюс 10 правая круглая скоб...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения,
ИЛИ
в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений
| 2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений,
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения,
ИЛИ
в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений
| 2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений,
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...