Найдите все значения параметра а, при которых среди решений неравенства $\log_{5} ( x ^2 + 2ax - a + a ^2 ) \leqslant1$ найдутся два числа, разность которых равна 1.
💡 Пошаговый разбор и решение:
Данное неравенство = сильно
$0 меньше x ^2 + 2ax - a + a ^2 меньше или = 5$
$a меньше ( x + a ) ^2 меньше или = a + 5$
При $a меньше 0$ получаем $ - $\sqrt{аргумента: a + 5}$ аргумента меньше или = a + x меньше или = $\sqrt{аргумента: a + 5}$ аргумента$
откуда получаем, что отрезок имеет длину 1 и больше при $ - 4,75 меньше или = a меньше 0$
Ясно, что при $a принадлежит [ 0;1 )$ можно взять просто $x=1 - a,x=2 - a$
Пусть теперь $a больше или = 1$ Тогда
$\sqrt{аргумента: a} аргумента меньше a + x меньше или = $\sqrt{аргумента: a + 5}$ аргумента или - $\sqrt{аргумента: a + 5}$ аргумента меньше или = a + x меньше - $\sqrt{аргумента: a}$ аргумента$
$\sqrt{аргумента: a} аргумента - a меньше x меньше или = $\sqrt{аргумента: a + 5}$ аргумента - a или - $\sqrt{аргумента: a + 5}$ аргумента - a меньше или = x меньше - $\sqrt{аргумента: a}$ аргумента - a$
Ясно, что точки из двух разных промежутков отличаются друг от друга всегда не меньше чем на $2a больше или = 2$ поэтому выбирать точки надо на одном отрезке. Очевидно, такие точки есть в том и только том случае, когда длина отрезка больше 1. Будем рассматривать первый отрезок, у второго длина такая же.
$\sqrt{аргумента: a + 5} аргумента - a - ( $\sqrt{аргумента: a}$ аргумента - a ) больше 1$
$\sqrt{аргумента: a + 5} аргумента больше $\sqrt{аргумента: a}$ аргумента + 1$
$a + 5 больше a + 2 $\sqrt{аргумента: a}$ аргумента + 1$
$2 больше $\sqrt{аргумента: a}$ аргумента$
$a меньше 4$
Ответ: $a принадлежит [ - 4,75;4 )$
$0 меньше x ^2 + 2ax - a + a ^2 меньше или = 5$
$a меньше ( x + a ) ^2 меньше или = a + 5$
При $a меньше 0$ получаем $ - $\sqrt{аргумента: a + 5}$ аргумента меньше или = a + x меньше или = $\sqrt{аргумента: a + 5}$ аргумента$
откуда получаем, что отрезок имеет длину 1 и больше при $ - 4,75 меньше или = a меньше 0$
Ясно, что при $a принадлежит [ 0;1 )$ можно взять просто $x=1 - a,x=2 - a$
Пусть теперь $a больше или = 1$ Тогда
$\sqrt{аргумента: a} аргумента меньше a + x меньше или = $\sqrt{аргумента: a + 5}$ аргумента или - $\sqrt{аргумента: a + 5}$ аргумента меньше или = a + x меньше - $\sqrt{аргумента: a}$ аргумента$
$\sqrt{аргумента: a} аргумента - a меньше x меньше или = $\sqrt{аргумента: a + 5}$ аргумента - a или - $\sqrt{аргумента: a + 5}$ аргумента - a меньше или = x меньше - $\sqrt{аргумента: a}$ аргумента - a$
Ясно, что точки из двух разных промежутков отличаются друг от друга всегда не меньше чем на $2a больше или = 2$ поэтому выбирать точки надо на одном отрезке. Очевидно, такие точки есть в том и только том случае, когда длина отрезка больше 1. Будем рассматривать первый отрезок, у второго длина такая же.
$\sqrt{аргумента: a + 5} аргумента - a - ( $\sqrt{аргумента: a}$ аргумента - a ) больше 1$
$\sqrt{аргумента: a + 5} аргумента больше $\sqrt{аргумента: a}$ аргумента + 1$
$a + 5 больше a + 2 $\sqrt{аргумента: a}$ аргумента + 1$
$2 больше $\sqrt{аргумента: a}$ аргумента$
$a меньше 4$
Ответ: $a принадлежит [ - 4,75;4 )$
Правильный ответ:
$a принадлежит левая квадратная скобка минус 4,75;4 правая круглая скобка$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67188 • Задание №12
Решите неравенство $\log _x левая круглая скобка 1 минус 2x правая круглая скобка меньше или равно 3 минус \lo...
ID 70889 • Задание №18
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений левая круглая скобка ay ми...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a
ИЛИ
установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a
ИЛИ
установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...