При $a меньше 0$ второе уравнение системы, а значит, и вся система не имеют решений.
Если a  =  0, то получаем систему $$$\begin{cases} y - x=0 \\[6pt] xy=0 \end{cases}$$$ которая имеет единственное решение $( 0; 0 )$
Рассмотрим случай $a больше 0$ Имеем

$$$\begin{cases} ( a ( y - x ) + 2 ) ( y - x + 3a ) =0 \\[6pt] |xy|=a. \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} ( a ( y - x ) + 2=0 \\[6pt] y - x + 3a=0 \end{cases}$$ . совокупность выражений xy=a,xy= - a \end{array} \right. . . конец совокупности . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} y=x - $\frac{2}{a}$ \\[6pt] y=x - 3a \end{cases}$$ . совокупность выражений y= $\frac{a}{x}$ ,y= - $\frac{a}{x}$ \end{array} \right. . . конец совокупности$ $$$\begin{cases} ( a ( y - x ) + 2 ) ( y - x + 3a ) =0 \\[6pt] |xy|=a. \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} ( a ( y - x ) + 2=0 \\[6pt] y - x + 3a=0 \end{cases}$$ . совокупность выражений xy=a,xy= - a \end{array} \right. . . конец совокупности . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} y=x - $\frac{2}{a}$ \\[6pt] y=x - 3a \end{cases}$$ . совокупность выражений y= $\frac{a}{x}$ ,y= - $\frac{a}{x}$ \end{array} \right. . . конец совокупности$

[рис.]
Графиком первого уравнения системы являются две параллельные прямые (на рисунке изображены красным цветом), совпадающие при $\frac{2}{a} =3a = сильно a= \sqrt{аргумента: $\frac{2}{3}$} аргумента$ Заметим, что при любых положительных значениях a эти две прямые лежат ниже прямой $y=x$ Графиком второго уравнения системы являются две гиперболы $y= $\frac{a}{x}$ или y= - \frac{a}{x}$ (на рисунке изображены синим цветом). Если две прямые совпадают, то у системы не может быть больше четырёх решений. Поэтому $\frac{2}{a} не = 3a = сильно a не = \sqrt{аргумента: $\frac{2}{3}$} аргумента$
При этом условии гипербола $y= \frac{a}{x}$ пересекает каждую из прямых в двух различных точках. Это дает четыре различных решения данной системы (на рисунке  — синие точки).
Еще два решения должны получаться при пересечении прямых гиперболой $y= - \frac{a}{x}$ в двух различных точках в четвертой координатной четверти. Для этого нужно, чтобы гипербола дважды пересекала одну из прямых (на рисунке  — красные точки), и не имела общих точек с другой прямой. (Ситуация, при которой каждая из прямых имеет одну общую точку с гиперболой и эти точки различны, невозможна.) Для этого нужно, чтобы из двух квадратных уравнений

$x ^2 - $\frac{2}{a}$ x + a=0$ и $x ^2 - 3ax + a=0$

одно имело ровно два различных корня, а другое не имело корней. Дискриминанты этих уравнений должны быть противоположных знаков. Получаем:

$( $\frac{4}{a ^2}$ - 4a ) ( 9a ^2 - 4a ) меньше 0 = сильно $\frac{4 ( a ^3 - 1 ) a ( 9a - 4 )}{a ^2}$ больше 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} 0 меньше a меньше $\frac{4}{9}$ ,a больше 1. \end{array} \right.$

Учитывая, что $\frac{4}{9} меньше \sqrt{аргумента: $\frac{2}{3}$} аргумента меньше 1$ приходим к ответу.

Ответ: $( 0; $\frac{4}{9}$ ) \cup ( 1; + бесконечность )$