[рис.] Решим задачу графически. Выражения, стоящие под знаком модулей, обращаются в нуль при $a=x$ и при $a= - \frac{x}{3}$ Прямые, задаваемые уравнениями $a=x$ и $a= - \frac{x}{3}$ разбивают плоскость хОа на четыре области. Раскроем модули, на каждой из этих областей и построим на этих областях график неравенства (см. ниже).
Графиком неравенства является множество точек, лежащих внутри области с границей АВ1С1А1BCA, включая границу. Для каждого конкретного значения параметра a  =  a0 решение неравенства представляет собой множество точек x, лежащих на прямой a  =  a0 и находящихся внутри построенной области.
Поскольку неравенство должно иметь ровно 4 целых решения, искомыми значениями параметра являются те, для которых соответствующие отрезки горизонтальных прямых содержат ровно 4 целочисленные точки (выделены на рисунке красным), то есть все прямые для $ - 2 меньше a меньше 0$ или $0 меньше a меньше 2$
Осталось показать, как построить график неравенства $|x - a| + |x + 3a| больше или = x ^2 + a ^2$ Раскрывая модули, получаем четыре области.
Область (1):

$$$\begin{cases} a меньше или = x \\[6pt] a больше или = - $\frac{x}{3}$ \\[6pt] ( x - a ) + ( x + 3a ) больше или = x ^2 + a ^2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a меньше или = x \\[6pt] a больше или = - $\frac{x}{3}$ \\[6pt] 2x + 2a больше или = x ^2 + a ^2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a меньше или = x \\[6pt] a больше или = - $\frac{x}{3}$ \\[6pt] ( x - 1 ) ^2 + ( a - 1 ) ^2 меньше или = 2. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} a меньше или = x \\[6pt] a больше или = - $\frac{x}{3}$ \\[6pt] ( x - a ) + ( x + 3a ) больше или = x ^2 + a ^2 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} a меньше или = x \\[6pt] a больше или = - $\frac{x}{3}$ \\[6pt] 2x + 2a больше или = x ^2 + a ^2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a меньше или = x \\[6pt] a больше или = - $\frac{x}{3}$ \\[6pt] ( x - 1 ) ^2 + ( a - 1 ) ^2 меньше или = 2. \end{cases}$$$

Область (2):

$$$\begin{cases} a больше или = x \\[6pt] a больше или = - $\frac{x}{3}$ \\[6pt] - ( x - a ) + ( x + 3a ) больше или = x ^2 + a ^2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a больше или = x \\[6pt] a больше или = - $\frac{x}{3}$ \\[6pt] 4a больше или = x ^2 + a ^2 . \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a больше или = x \\[6pt] a больше или = - $\frac{x}{3}$ \\[6pt] x ^2 + ( a - 2 ) ^2 меньше или = 4. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} a больше или = x \\[6pt] a больше или = - $\frac{x}{3}$ \\[6pt] - ( x - a ) + ( x + 3a ) больше или = x ^2 + a ^2 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} a больше или = x \\[6pt] a больше или = - $\frac{x}{3}$ \\[6pt] 4a больше или = x ^2 + a ^2 . \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a больше или = x \\[6pt] a больше или = - $\frac{x}{3}$ \\[6pt] x ^2 + ( a - 2 ) ^2 меньше или = 4. \end{cases}$$$

Область (3):

$$$\begin{cases} a больше или = x \\[6pt] a меньше или = - $\frac{x}{3}$ \\[6pt] - ( x - a ) - ( x + 3a ) больше или = x ^2 + a ^2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a больше или = x \\[6pt] a меньше или = - $\frac{x}{3}$ \\[6pt] - 2x - 2a больше или = x ^2 + a ^2 . \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a больше или = x \\[6pt] a меньше или = - $\frac{x}{3}$ \\[6pt] ( x + 1 ) ^2 + ( a + 1 ) ^2 меньше или = 2. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} a больше или = x \\[6pt] a меньше или = - $\frac{x}{3}$ \\[6pt] - ( x - a ) - ( x + 3a ) больше или = x ^2 + a ^2 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} a больше или = x \\[6pt] a меньше или = - $\frac{x}{3}$ \\[6pt] - 2x - 2a больше или = x ^2 + a ^2 . \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a больше или = x \\[6pt] a меньше или = - $\frac{x}{3}$ \\[6pt] ( x + 1 ) ^2 + ( a + 1 ) ^2 меньше или = 2. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} a больше или = x \\[6pt] a меньше или = - $\frac{x}{3}$ \\[6pt] - ( x - a ) - ( x + 3a ) больше или = x ^2 + a ^2 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} a больше или = x \\[6pt] a меньше или = - $\frac{x}{3}$ \\[6pt] - 2x - 2a больше или = x ^2 + a ^2 . \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} a больше или = x \\[6pt] a меньше или = - $\frac{x}{3}$ \\[6pt] ( x + 1 ) ^2 + ( a + 1 ) ^2 меньше или = 2. \end{cases}$$$

Область (4):

$$$\begin{cases} a меньше или = x \\[6pt] a меньше или = - $\frac{x}{3}$ \\[6pt] ( x - a ) - ( x + 3a ) больше или = x ^2 + a ^2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a меньше или = x \\[6pt] a меньше или = - $\frac{x}{3}$ \\[6pt] - 4a больше или = x ^2 + a ^2 . \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a меньше или = x \\[6pt] a меньше или = - $\frac{x}{3}$ \\[6pt] x ^2 + ( a + 2 ) ^2 меньше или = 4. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} a меньше или = x \\[6pt] a меньше или = - $\frac{x}{3}$ \\[6pt] ( x - a ) - ( x + 3a ) больше или = x ^2 + a ^2 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} a меньше или = x \\[6pt] a меньше или = - $\frac{x}{3}$ \\[6pt] - 4a больше или = x ^2 + a ^2 . \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a меньше или = x \\[6pt] a меньше или = - $\frac{x}{3}$ \\[6pt] x ^2 + ( a + 2 ) ^2 меньше или = 4. \end{cases}$$$

На области (1) решение неравенства представляет собой часть круга с центром в точке (1; 1) и радиусом $r_1= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ ограниченную прямыми $a=x$ $a= - \frac{x}{3}$ Заметим, что окружность ω1, являющаяся границей круга, пересекает ось абсцисс в точках $O ( 0; 0 )$ и $C ( 2; 0 )$ Найдем координаты точек пересечения данной окружности с указанными прямыми. Для прямой $a=x$ имеем:

$$$\begin{cases} ( x - 1 ) ^2 + ( a - 1 ) ^2 =2 \\[6pt] x=a \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} ( a - 1 ) ^2 =1 \\[6pt] x=a \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} a - 1= - 1 \\[6pt] x=a \end{cases}$$ . $$\begin{cases} a - 1=1 \\[6pt] x=a \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} a=0 \\[6pt] x=0 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} a=2 \\[6pt] x=2. \end{cases}$$ . \end{array} \right.$ $$$\begin{cases} ( x - 1 ) ^2 + ( a - 1 ) ^2 =2 \\[6pt] x=a \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} ( a - 1 ) ^2 =1 \\[6pt] x=a \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} a - 1= - 1 \\[6pt] x=a \end{cases}$$ . $$\begin{cases} a - 1=1 \\[6pt] x=a \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} a=0 \\[6pt] x=0 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} a=2 \\[6pt] x=2. \end{cases}$$ . \end{array} \right.$

Искомые точки: $O ( 0; 0 )$ и $A ( 2; 2 )$
Аналогично для прямой $a= - \frac{x}{3}$ находим:

$$$\begin{cases} ( x - 1 ) ^2 + ( a - 1 ) ^2 =2 \\[6pt] x= - 3a \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} ( - 3a - 1 ) ^2 + ( a - 1 ) ^2 =2 \\[6pt] x= - 3a \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 10a ^2 + 4a=0 \\[6pt] x= - 3a \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} a=0 \\[6pt] a=0 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} a= - $\frac{2}{5}$ \\[6pt] x= $\frac{6}{5}$ . \end{cases}$$ . \end{array} \right.$ $$$\begin{cases} ( x - 1 ) ^2 + ( a - 1 ) ^2 =2 \\[6pt] x= - 3a \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} ( - 3a - 1 ) ^2 + ( a - 1 ) ^2 =2 \\[6pt] x= - 3a \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 10a ^2 + 4a=0 \\[6pt] x= - 3a \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} a=0 \\[6pt] a=0 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} a= - $\frac{2}{5}$ \\[6pt] x= $\frac{6}{5}$ . \end{cases}$$ . \end{array} \right.$ $$$\begin{cases} ( x - 1 ) ^2 + ( a - 1 ) ^2 =2 \\[6pt] x= - 3a \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} ( - 3a - 1 ) ^2 + ( a - 1 ) ^2 =2 \\[6pt] x= - 3a \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 10a ^2 + 4a=0 \\[6pt] x= - 3a \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} a=0 \\[6pt] a=0 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} a= - $\frac{2}{5}$ \\[6pt] x= $\frac{6}{5}$ . \end{cases}$$ . \end{array} \right.$

Искомые точки: $O ( 0; 0 )$ и $B ( $\frac{6}{5}$ ; - $\frac{2}{5}$ )$
На области (2) решение неравенства представляет собой часть круга с центром в точке (0; 2) и радиусом $r_2=2$ ограниченную прямыми $a=x$ $a= - \frac{x}{3}$ Заметим, что окружность ω2, являющаяся границей круга, пересекает ось абсцисс в точке $O ( 0; 0 )$ Найдем координаты точек пересечения данной окружности с указанными прямыми. Для прямой $a=x$ имеем:

$$$\begin{cases} x ^2 + ( a - 2 ) ^2 =4 \\[6pt] x=a \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 2a ^2 - 4a=0 \\[6pt] x=a \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} a=0 \\[6pt] x=a \end{cases}$$ . $$\begin{cases} a=2 \\[6pt] x=a \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} a=0 \\[6pt] x=0 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} a=2 \\[6pt] x=2. \end{cases}$$ . \end{array} \right.$

Искомые точки: $O ( 0; 0 )$ и $A ( 2; 2 )$
Аналогично для прямой $a= - \frac{x}{3}$ находим:

$$$\begin{cases} x ^2 + ( a - 2 ) ^2 =4 \\[6pt] x= - 3a \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 9a ^2 + ( a - 2 ) ^2 =4 \\[6pt] x= - 3a \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 10a ^2 - 4a=0 \\[6pt] x= - 3a \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} a=0 \\[6pt] x=0 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} a= $\frac{2}{5}$ \\[6pt] x= - $\frac{6}{5}$ . \end{cases}$$ . \end{array} \right.$ $$$\begin{cases} x ^2 + ( a - 2 ) ^2 =4 \\[6pt] x= - 3a \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 9a ^2 + ( a - 2 ) ^2 =4 \\[6pt] x= - 3a \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 10a ^2 - 4a=0 \\[6pt] x= - 3a \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} a=0 \\[6pt] x=0 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} a= $\frac{2}{5}$ \\[6pt] x= - $\frac{6}{5}$ . \end{cases}$$ . \end{array} \right.$

Искомые точки: $O ( 0; 0 )$ и $B_1 ( - $\frac{6}{5}$ ; $\frac{2}{5}$ )$
Области (3) и (4) можно рассмотреть аналогично. Но можно заметить, что если точка $( x; a )$ является решением неравенства, то и точка $( - x; - a )$ является его решением:

$| - x - ( - a ) | + | - x + 3 \cdot ( - a ) | больше или = ( - x ) ^2 + ( - a ) ^2 = сильно | - x + a| + |x + 3a| больше или = x ^2 + a ^2$ $| - x - ( - a ) | + | - x + 3 \cdot ( - a ) | больше или = ( - x ) ^2 + ( - a ) ^2 = сильно$
$ = сильно | - x + a| + |x + 3a| больше или = x ^2 + a ^2$

Это означает, что множество решений неравенства симметрично относительно начала координат. Тем самым, достаточно построить часть графика неравенства, лежащую выше прямой $a= - \frac{x}{3}$ то есть на областях (1) и (2), а затем отразить её относительно начала координат. Так нами и было сделано.

Ответ: $( - 2; 0 ) \cup ( 0;2 )$