Заметим, что $\cos 2x=1 - 2 \sin ^2 x$ и обозначим $\sin x=t$ Получим:

$2 ( 1 - 2t ^2 ) + 2at + a - 1=0 = сильно 4t ^2 - 2at - a - 1=0 = сильно$
$ = сильно ( 2t + 1 ) ( 2t - 1 - a ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} t= - $\frac{1}{2}$ ,t= $\frac{a + 1}{2}$ . \end{array} \right.$

Уравнение $\sin x=t$ имеет на промежутке вида $[ b; b + 2 \pi )$ одно решение при $t=\pm 1$ два решения при $ - 1 меньше t меньше 1$ и ни одного решения при прочих $t$ Поэтому даже на промежутке $[ - \pi ; 3 \pi )$ уравнение может иметь максимум 8 решений: два несовпадающих корня, дающих по 2 решения и на $[ - \pi ; \pi )$ и на $[ \pi ; 3 \pi )$ Восемь решений возможны и в нашем случае. Для этого необходимо, чтобы на промежутке $( $\frac{17}{6}$ \pi ; 3 \pi )$ решений не было. Тогда $t принадлежит ( - 1; 0 ] \cup [ $\frac{1}{2}$ ; 1 )$
Итак, оба корня уравнения должны попасть в это множество и не совпасть. Первый корень непременно попадет в это множество. При $a= - 2$ корни совпадают. Тогда $a принадлежит ( - 3; - 2 ) \cup ( - 2; - 1 ] \cup [ 0; 1 )$

Ответ: $( - 3; - 2 ) \cup ( - 2; - 1 ] \cup [ 0;1 )$