[рис.] Сделаем замену переменных: $u=3x + 1$ $v =2y + 1$ Ясно, что количество решений от этого не изменится  — по каждой паре x и y однозначно строится пара u и $v$ и наоборот. Уравнения примут вид $( u - 3 ) ^2 + ( v + 2 ) ^2 =4$ $3 - u - v больше 0$ $v =au$ (если $u=0$ то и $v =0$ а такая точка не подходит в первое уравнение). Первое уравнение задаёт окружность с центром $( 3; - 2 )$ и радиусом $2$ Неравенство задаёт нижнюю полуплоскость относительно прямой $u + v =3$ которая пересекает окружность в точках $( 3; 0 )$ и $( 5; - 2 )$ (можно проверить подстановкой). Наконец, последнее уравнение задаёт прямую, проходящую через начало координат (см. рис.).
Выясним, при каком a эта прямая касается окружности. Для этого расстояние от точки $( 3; - 2 )$ до этой прямой должно быть = 2. То есть $\frac{\abs3a + 2}{$\sqrt{аргумента: a ^2 + 1}$ аргумента} =2$ Отсюда:

$9a ^2 + 12a + 4=4a ^2 + 4 = сильно 5a ^2 + 12a=0 = сильно \left[ \begin{array}{l} a=0,a= - 2,4. \end{array} \right.$

При $a меньше - 2,4$ прямая не пересекает окружность. При $a= - 2,4$ есть одна общая точка. При $ - 2,4 меньше a меньше - 0,4$ есть две общие точки. При $a= - 0,4$ есть одна общая точка (вторая выколота). При $ - 0,4 меньше a меньше 0$ есть одна общая точка (вторая не в той полуплоскости). При $a больше или = 0$ общих точек нет.

Ответ: $a принадлежит \{ - 2,4 \} \cup [ - 0,4; 0 )$