При каких значениях параметра a функция
$f ( x ) =4 в степени ( - x ) + ( $\frac{1}{2}$ ) в степени ( x + 1 ) \cdot $\frac{5a}{2}$ + \frac{a ^2 + 12}{6}$
принимает во всех точках отрезка $[ - 1;1 ]$ значения больше 2?
$f ( x ) =4 в степени ( - x ) + ( $\frac{1}{2}$ ) в степени ( x + 1 ) \cdot $\frac{5a}{2}$ + \frac{a ^2 + 12}{6}$
принимает во всех точках отрезка $[ - 1;1 ]$ значения больше 2?
💡 Пошаговый разбор и решение:
Обозначим $2 в степени ( - x ) =t принадлежит [ $\frac{1}{2}$ ;2 ]$ На всем этом отрезке функция
$t ^2 + $\frac{5a}{4}$ t + \frac{a ^2 + 12}{6}$
должна быть больше 2. То есть
$t ^2 + $\frac{5a}{4}$ t + $\frac{a ^2}{6}$ больше 0$
Наименьшее значение кваратичной функции на отрезке достигается либо в одном из концов, либо при $ - \frac{5a}{8}$ если оно лежит на этом отрезке. Проанализируем концы отрезка:
$f ( $\frac{1}{2}$ ) = $\frac{1}{4}$ + $\frac{5a}{8}$ + $\frac{a ^2}{6}$ больше 0 = сильно 6 + 15a + 4a ^2 больше 0 = сильно$
$ = сильно a принадлежит ( - бесконечность ; \frac{ - 15 - $\sqrt{аргумента: 129}$ аргумента}{8} ) \cup ( \frac{ - 15 + $\sqrt{аргумента: 129}$ аргумента}{8} ; бесконечность )$
$f ( 2 ) =4 + $\frac{5a}{2}$ + $\frac{a ^2}{6}$ больше 0 = сильно 24 + 15a + a ^2 больше 0 = сильно a принадлежит ( - бесконечность ; \frac{ - 15 - $\sqrt{аргумента: 129}$ аргумента}{2} ) \cup ( \frac{ - 15 + $\sqrt{аргумента: 129}$ аргумента}{2} ; бесконечность )$ $f ( 2 ) =4 + $\frac{5a}{2}$ + $\frac{a ^2}{6}$ больше 0 = сильно 24 + 15a + a ^2 больше 0 = сильно$
$ = сильно a принадлежит ( - бесконечность ; \frac{ - 15 - $\sqrt{аргумента: 129}$ аргумента}{2} ) \cup ( \frac{ - 15 + $\sqrt{аргумента: 129}$ аргумента}{2} ; бесконечность )$
Поэтому , совмещая эти условия, получаем
$a принадлежит ( - бесконечность ; \frac{ - 15 - $\sqrt{аргумента: 129}$ аргумента}{2} ) \cup ( \frac{ - 15 + $\sqrt{аргумента: 129}$ аргумента}{8} ; бесконечность )$
Наконец при $ - $\frac{5a}{8}$ принадлежит [ $\frac{1}{2}$ ;2 ]$ то есть при $a принадлежит [ - $\frac{16}{5}$ ; - $\frac{4}{5}$ ]$ еще требуется:
$f ( - $\frac{5a}{8}$ ) = $\frac{25a ^2}{64}$ - $\frac{25a ^2}{32}$ + $\frac{a ^2}{6}$ больше 0 = сильно a ^2 ( - $\frac{25}{64}$ + $\frac{1}{6}$ ) больше 0$
что невозможно. Но поскольку
$ - $\frac{16}{5}$ больше \frac{ - 15 - $\sqrt{аргумента: 129}$ аргумента}{2}$
и
$ - $\frac{4}{5}$ меньше - $\frac{1}{2}$ = $\frac{ - 15 + 11}{8}$ меньше \frac{ - 15 + $\sqrt{аргумента: 129}$ аргумента}{8}$
все эти значения и так запрещены.
Ответ: $( - бесконечность ; \frac{ - 15 - $\sqrt{аргумента: 129}$ аргумента}{2} ) \cup ( \frac{ - 15 + $\sqrt{аргумента: 129}$ аргумента}{8} ; бесконечность )$
$t ^2 + $\frac{5a}{4}$ t + \frac{a ^2 + 12}{6}$
должна быть больше 2. То есть
$t ^2 + $\frac{5a}{4}$ t + $\frac{a ^2}{6}$ больше 0$
Наименьшее значение кваратичной функции на отрезке достигается либо в одном из концов, либо при $ - \frac{5a}{8}$ если оно лежит на этом отрезке. Проанализируем концы отрезка:
$f ( $\frac{1}{2}$ ) = $\frac{1}{4}$ + $\frac{5a}{8}$ + $\frac{a ^2}{6}$ больше 0 = сильно 6 + 15a + 4a ^2 больше 0 = сильно$
$ = сильно a принадлежит ( - бесконечность ; \frac{ - 15 - $\sqrt{аргумента: 129}$ аргумента}{8} ) \cup ( \frac{ - 15 + $\sqrt{аргумента: 129}$ аргумента}{8} ; бесконечность )$
$f ( 2 ) =4 + $\frac{5a}{2}$ + $\frac{a ^2}{6}$ больше 0 = сильно 24 + 15a + a ^2 больше 0 = сильно a принадлежит ( - бесконечность ; \frac{ - 15 - $\sqrt{аргумента: 129}$ аргумента}{2} ) \cup ( \frac{ - 15 + $\sqrt{аргумента: 129}$ аргумента}{2} ; бесконечность )$ $f ( 2 ) =4 + $\frac{5a}{2}$ + $\frac{a ^2}{6}$ больше 0 = сильно 24 + 15a + a ^2 больше 0 = сильно$
$ = сильно a принадлежит ( - бесконечность ; \frac{ - 15 - $\sqrt{аргумента: 129}$ аргумента}{2} ) \cup ( \frac{ - 15 + $\sqrt{аргумента: 129}$ аргумента}{2} ; бесконечность )$
Поэтому , совмещая эти условия, получаем
$a принадлежит ( - бесконечность ; \frac{ - 15 - $\sqrt{аргумента: 129}$ аргумента}{2} ) \cup ( \frac{ - 15 + $\sqrt{аргумента: 129}$ аргумента}{8} ; бесконечность )$
Наконец при $ - $\frac{5a}{8}$ принадлежит [ $\frac{1}{2}$ ;2 ]$ то есть при $a принадлежит [ - $\frac{16}{5}$ ; - $\frac{4}{5}$ ]$ еще требуется:
$f ( - $\frac{5a}{8}$ ) = $\frac{25a ^2}{64}$ - $\frac{25a ^2}{32}$ + $\frac{a ^2}{6}$ больше 0 = сильно a ^2 ( - $\frac{25}{64}$ + $\frac{1}{6}$ ) больше 0$
что невозможно. Но поскольку
$ - $\frac{16}{5}$ больше \frac{ - 15 - $\sqrt{аргумента: 129}$ аргумента}{2}$
и
$ - $\frac{4}{5}$ меньше - $\frac{1}{2}$ = $\frac{ - 15 + 11}{8}$ меньше \frac{ - 15 + $\sqrt{аргумента: 129}$ аргумента}{8}$
все эти значения и так запрещены.
Ответ: $( - бесконечность ; \frac{ - 15 - $\sqrt{аргумента: 129}$ аргумента}{2} ) \cup ( \frac{ - 15 + $\sqrt{аргумента: 129}$ аргумента}{8} ; бесконечность )$
Правильный ответ:
$левая круглая скобка минус бесконечность ; дробь: числитель: минус 15 минус корень из: начало аргумента: 129 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: минус 15 плюс корень из: начало аргумента: 129 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби ; бесконечность правая круглая скобка$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 65103 • Задание №4
[рис.] На клетчатой бумаге с размером клетки 1 $\times$ 1 изображён параллелограмм. Найдите длину его большей ...
ID 64945 • Задание №3
Объем первого цилиндра равен 12 м3. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания — в два р...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано | 3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной | 2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано | 3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной | 2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...