При каких значениях параметра а система уравнений
$$$\begin{cases} новая строка y ^2 + 2xy + ( x ^2 + 2x - 3 ) ( 3 - x ^2 ) =0 \\[6pt] новая строка y - ax - 6a=0 \end{cases}$$$
имеет более двух различных решений?
$$$\begin{cases} новая строка y ^2 + 2xy + ( x ^2 + 2x - 3 ) ( 3 - x ^2 ) =0 \\[6pt] новая строка y - ax - 6a=0 \end{cases}$$$
имеет более двух различных решений?
💡 Пошаговый разбор и решение:
Преобразуем левую часть первого уравнения системы.
$y ^2 + 2xy + ( x ^2 + 2x - 3 ) \cdot ( 3 - x ^2 ) =y ^2 + 2xy + x ^2 - ( ( x ^2 - 3 ) + 2x ) \cdot ( x ^2 - 3 ) ) - x ^2 =$ $y ^2 + 2xy + ( x ^2 + 2x - 3 ) \cdot ( 3 - x ^2 ) =$
$=y ^2 + 2xy + x ^2 - ( ( x ^2 - 3 ) + 2x ) \cdot ( x ^2 - 3 ) ) - x ^2 =$
$= ( x + y ) ^2 - ( ( x ^2 - 3 ) ^2 + 2 ( x ^2 - 3 ) \cdot x + x ^2 ) ) = ( x + y ) ^2 - ( x ^2 - 3 + x ) ^2 =$ $= ( x + y ) ^2 - ( ( x ^2 - 3 ) ^2 + 2 ( x ^2 - 3 ) \cdot x + x ^2 ) ) =$
$= ( x + y ) ^2 - ( x ^2 - 3 + x ) ^2 =$
$= ( x + y - x ^2 + 3 - x ) \cdot ( x + y + x ^2 - 3 + x ) = - ( x ^2 - y - 3 ) \cdot ( x ^2 + 2x + y - 3 )$ $= ( x + y - x ^2 + 3 - x ) \cdot ( x + y + x ^2 - 3 + x ) =$
$= - ( x ^2 - y - 3 ) \cdot ( x ^2 + 2x + y - 3 )$
В этот результат подставим значение у, полученное из второго уравнения системы и запишем первое уравнение так:
$ - ( x ^2 - ax - 6a - 3 ) ( x ^2 + 2x + ax + 6a - 3 ) =0 = сильно ( x ^2 - ax - 6a - 3 ) \cdot ( x ^2 + ( a + 2 ) x + 6a - 3 ) =0$ $ - ( x ^2 - ax - 6a - 3 ) ( x ^2 + 2x + ax + 6a - 3 ) =0 = сильно$
$ = сильно ( x ^2 - ax - 6a - 3 ) \cdot ( x ^2 + ( a + 2 ) x + 6a - 3 ) =0$
Таким образом, мы получили совокупность двух уравнений:
$x ^2 - ax - 6a - 3=0 ( 1 )$
$x ^2 + ( a + 2 ) x + 6a - 3=0 ( 2 )$
Найдем значения параметра а, при которых уравнения (1) и (2) решений иметь не будут. Ясно, что при таких значениях а их дискриминанты (обозначим их $D_1$ и $D_2$ соответственно) будут отрицательными.
Для уравнения (1):
$a ^2 + 24a + 12 меньше 0 = сильно - 12 - $\sqrt{аргумента: 144 - 12}$ аргумента меньше a меньше - 12 + $\sqrt{аргумента: 132}$ аргумента = сильно - 12 - 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента меньше a меньше - 12 + 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента$ $a ^2 + 24a + 12 меньше 0 = сильно - 12 - $\sqrt{аргумента: 144 - 12}$ аргумента меньше a меньше - 12 + $\sqrt{аргумента: 132}$ аргумента = сильно$
$ = сильно - 12 - 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента меньше a меньше - 12 + 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента$ $a ^2 + 24a + 12 меньше 0 = сильно$
$ = сильно - 12 - $\sqrt{аргумента: 144 - 12}$ аргумента меньше a меньше - 12 + $\sqrt{аргумента: 132}$ аргумента = сильно$
$ = сильно - 12 - 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента меньше a меньше - 12 + 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента$
Для уравнения (2):
$a ^2 + 4a + 4 - 24a + 12 меньше 0 = сильно a ^2 - 20a + 16 меньше 0 = сильно$
$ = сильно 10 - $\sqrt{аргумента: 100 - 16}$ аргумента меньше a меньше 10 + $\sqrt{аргумента: 84}$ аргумента = сильно 10 - 2 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента меньше a меньше 10 + 2 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента$ $a ^2 + 4a + 4 - 24a + 12 меньше 0 = сильно a ^2 - 20a + 16 меньше 0 = сильно$
$ = сильно 10 - $\sqrt{аргумента: 100 - 16}$ аргумента меньше a меньше 10 + $\sqrt{аргумента: 84}$ аргумента = сильно$
$ = сильно 10 - 2 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента меньше a меньше 10 + 2 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента$
Заметим, что $ - 12 - 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента меньше - 12 + 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента меньше 10 - 2 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента меньше 10 + 2 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента$
Количество решений уравнений (1) и (2) можно увидеть из таблицы, составленной на основании исследования знаков $D_1$ и $D_2$
[рис.]
Случаи 3 и 7 интереса не представляют.
В случаях 1, 5, 9, в которых оба уравнения имеют по два различных корня, тождественных совпадений этих корней не будет, поскольку для такого совпадения необходимо равенство абсцисс осей симметрии корней, т. е. абсцисс вершин 2-х парабол (обозначим их $m_1$ и $m_2$ ). Но $m_1= $\frac{a}{2}$ ;m_2= - \frac{a + 2}{2}$ Ясно, что равенство $m_1=m_2$ ни при каких а не выполнимо. А это значит, что при $D_1 больше 0$ и $D_2 больше 0$ система имеет не менее трех различных корней.
Осталось проверить случаи 2, 4, 6 и 8.
Найдем, при каких значениях а возможно совпадение корней уравнений (1) и (2). Для этого решим уравнение $x ^2 - ax - 6a - 3=x ^2 + ( a + 2 ) x + 6a - 3$ относительно х.
$x ^2 - ax - 6a - 3=x ^2 + ( a + 2 ) x + 6a - 3 = сильно$
$ = сильно - ax - 6a - 3=ax + 2x + 6a - 3 = сильно ( 2a + 2 ) x= - 12a = сильно x= - \frac{6a}{a + 1}$ $x ^2 - ax - 6a - 3=x ^2 + ( a + 2 ) x + 6a - 3 = сильно$
$ = сильно - ax - 6a - 3=ax + 2x + 6a - 3 = сильно$
$ = сильно ( 2a + 2 ) x= - 12a = сильно x= - \frac{6a}{a + 1}$
В случаях 2 и 4 уравнение (1) имеет два одинаковых корня $( D_1=0 )$
Это $x_1=x_2= \frac{a}{2}$ Тогда должно выполняться условие:
$ - $\frac{6a}{a + 1}$ = $\frac{a}{2}$ = сильно a ^2 + a= - 12a = сильно a ( a + 13 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка a=0 , новая строка a= - 13 \end{array} \right.$
$ - 12\pm 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента не = 0; - 12\pm 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента не = - 13$ (Сумма рационального числа и иррационального числа не может равняться рациональному числу). А это значит, что в этих случаях решения уравнения (1) совпасть хотя бы с одним корнем уравнения (2) при $a= - 12\pm 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента$ не может.
Следовательно, в случаях 2 и 4 система будет иметь ровно три различных решения.
Поверим случаи 6 и 8, в которых $D_2=0$
Корни уравнения (2) будут иметь вид: $x_3=x_4= - \frac{a + 2}{2}$ При совпадении такого корня хотя бы с одним из корней уравнения (1) должно выполняться условие:
$\frac{6a}{a + 1} = $\frac{a + 2}{2}$ = сильно a ^2 + 3a + 2 - 12a=0 = сильно$
$ = сильно a ^2 - 9a + 2=0 = сильно a= \frac{9\pm $\sqrt{аргумента: 81 - 8}$ аргумента}{2} = сильно a= \frac{9\pm $\sqrt{аргумента: 72}$ аргумента}{2}$ $\frac{6a}{a + 1} = $\frac{a + 2}{2}$ = сильно a ^2 + 3a + 2 - 12a=0 = сильно$
$ = сильно a ^2 - 9a + 2=0 = сильно$
$ = сильно a= \frac{9\pm $\sqrt{аргумента: 81 - 8}$ аргумента}{2} = сильно a= \frac{9\pm $\sqrt{аргумента: 72}$ аргумента}{2}$
Но при этом не выполняются равенства: $9\pm $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента =20 - 4 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента ;\9\pm $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента =20 + 4 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента$
Убедимся в этом. Предположим, что эти равенства выполняются. Тогда:
$9 - $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента =20 - 4 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента = сильно 4 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента =11 = сильно 16 \cdot 21 + 73 - 8 $\sqrt{аргумента: 21 \cdot 73}$ аргумента =121\Lefrightarrow$ $9 - $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента =20 - 4 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента = сильно 4 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента =11 = сильно$
$ = сильно 16 \cdot 21 + 73 - 8 $\sqrt{аргумента: 21 \cdot 73}$ аргумента =121\Lefrightarrow$
$ = сильно 288=8 $\sqrt{аргумента: 21 \cdot 73}$ аргумента = сильно 288 \cdot 288=64 \cdot 21 \cdot 73 = сильно 36 \cdot 36=21 \cdot 73$
Это равенство места не имеет, так как слева равенства получаем число четное, а справа — число нечетное.
$9 + $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента =20 - 4 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента = сильно 4 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента =11 = сильно$
$ = сильно 16 \cdot 21 + 73 + 8 $\sqrt{аргумента: 21 \cdot 73}$ аргумента =121 = сильно 288= - 8 $\sqrt{аргумента: 21 \cdot 73}$ аргумента$ $9 + $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента =20 - 4 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента = сильно 4 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента =11 = сильно$
$ = сильно 16 \cdot 21 + 73 + 8 $\sqrt{аргумента: 21 \cdot 73}$ аргумента =121 = сильно$
$ = сильно 288= - 8 $\sqrt{аргумента: 21 \cdot 73}$ аргумента$
Равенство невыполнимо, поскольку слева равенства число положительное, тогда как справа — отрицательное.
$9 - $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента =20 + 4 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента$ $ = сильно$ $4 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента = - 11$ (равенство невыполнимо из-за положительности левой части и отрицательности правой).
$9 + $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента =20 + 4 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента$ $ = сильно$ $\sqrt{аргумента: 73} аргумента - 4 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента =11$ $ = сильно$ $\sqrt{аргумента: 73} аргумента - $\sqrt{аргумента: 336}$ аргумента =11$ Однако, $\sqrt{аргумента: 73} аргумента - $\sqrt{аргумента: 336}$ аргумента меньше 0$ тогда как $11 больше 0$
Значит, в случаях 6 и 8 система также будет иметь ровно 3 различных решения.
Итак, искомыми значениями параметра а являются элементы множества
$( - бесконечность ; - 12 - 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента ] \cup [ - 12 + 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента ;10 - 2 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента ] \cup [ 10 + 2 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента ; + бесконечность )$
Ответ: $( - бесконечность ; - 12 - 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента ] \cup [ - 12 + 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента ;10 - 2 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента ] \cup [ 10 + 2 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента ; + бесконечность )$
$y ^2 + 2xy + ( x ^2 + 2x - 3 ) \cdot ( 3 - x ^2 ) =y ^2 + 2xy + x ^2 - ( ( x ^2 - 3 ) + 2x ) \cdot ( x ^2 - 3 ) ) - x ^2 =$ $y ^2 + 2xy + ( x ^2 + 2x - 3 ) \cdot ( 3 - x ^2 ) =$
$=y ^2 + 2xy + x ^2 - ( ( x ^2 - 3 ) + 2x ) \cdot ( x ^2 - 3 ) ) - x ^2 =$
$= ( x + y ) ^2 - ( ( x ^2 - 3 ) ^2 + 2 ( x ^2 - 3 ) \cdot x + x ^2 ) ) = ( x + y ) ^2 - ( x ^2 - 3 + x ) ^2 =$ $= ( x + y ) ^2 - ( ( x ^2 - 3 ) ^2 + 2 ( x ^2 - 3 ) \cdot x + x ^2 ) ) =$
$= ( x + y ) ^2 - ( x ^2 - 3 + x ) ^2 =$
$= ( x + y - x ^2 + 3 - x ) \cdot ( x + y + x ^2 - 3 + x ) = - ( x ^2 - y - 3 ) \cdot ( x ^2 + 2x + y - 3 )$ $= ( x + y - x ^2 + 3 - x ) \cdot ( x + y + x ^2 - 3 + x ) =$
$= - ( x ^2 - y - 3 ) \cdot ( x ^2 + 2x + y - 3 )$
В этот результат подставим значение у, полученное из второго уравнения системы и запишем первое уравнение так:
$ - ( x ^2 - ax - 6a - 3 ) ( x ^2 + 2x + ax + 6a - 3 ) =0 = сильно ( x ^2 - ax - 6a - 3 ) \cdot ( x ^2 + ( a + 2 ) x + 6a - 3 ) =0$ $ - ( x ^2 - ax - 6a - 3 ) ( x ^2 + 2x + ax + 6a - 3 ) =0 = сильно$
$ = сильно ( x ^2 - ax - 6a - 3 ) \cdot ( x ^2 + ( a + 2 ) x + 6a - 3 ) =0$
Таким образом, мы получили совокупность двух уравнений:
$x ^2 - ax - 6a - 3=0 ( 1 )$
$x ^2 + ( a + 2 ) x + 6a - 3=0 ( 2 )$
Найдем значения параметра а, при которых уравнения (1) и (2) решений иметь не будут. Ясно, что при таких значениях а их дискриминанты (обозначим их $D_1$ и $D_2$ соответственно) будут отрицательными.
Для уравнения (1):
$a ^2 + 24a + 12 меньше 0 = сильно - 12 - $\sqrt{аргумента: 144 - 12}$ аргумента меньше a меньше - 12 + $\sqrt{аргумента: 132}$ аргумента = сильно - 12 - 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента меньше a меньше - 12 + 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента$ $a ^2 + 24a + 12 меньше 0 = сильно - 12 - $\sqrt{аргумента: 144 - 12}$ аргумента меньше a меньше - 12 + $\sqrt{аргумента: 132}$ аргумента = сильно$
$ = сильно - 12 - 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента меньше a меньше - 12 + 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента$ $a ^2 + 24a + 12 меньше 0 = сильно$
$ = сильно - 12 - $\sqrt{аргумента: 144 - 12}$ аргумента меньше a меньше - 12 + $\sqrt{аргумента: 132}$ аргумента = сильно$
$ = сильно - 12 - 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента меньше a меньше - 12 + 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента$
Для уравнения (2):
$a ^2 + 4a + 4 - 24a + 12 меньше 0 = сильно a ^2 - 20a + 16 меньше 0 = сильно$
$ = сильно 10 - $\sqrt{аргумента: 100 - 16}$ аргумента меньше a меньше 10 + $\sqrt{аргумента: 84}$ аргумента = сильно 10 - 2 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента меньше a меньше 10 + 2 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента$ $a ^2 + 4a + 4 - 24a + 12 меньше 0 = сильно a ^2 - 20a + 16 меньше 0 = сильно$
$ = сильно 10 - $\sqrt{аргумента: 100 - 16}$ аргумента меньше a меньше 10 + $\sqrt{аргумента: 84}$ аргумента = сильно$
$ = сильно 10 - 2 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента меньше a меньше 10 + 2 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента$
Заметим, что $ - 12 - 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента меньше - 12 + 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента меньше 10 - 2 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента меньше 10 + 2 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента$
Количество решений уравнений (1) и (2) можно увидеть из таблицы, составленной на основании исследования знаков $D_1$ и $D_2$
[рис.]
Случаи 3 и 7 интереса не представляют.
В случаях 1, 5, 9, в которых оба уравнения имеют по два различных корня, тождественных совпадений этих корней не будет, поскольку для такого совпадения необходимо равенство абсцисс осей симметрии корней, т. е. абсцисс вершин 2-х парабол (обозначим их $m_1$ и $m_2$ ). Но $m_1= $\frac{a}{2}$ ;m_2= - \frac{a + 2}{2}$ Ясно, что равенство $m_1=m_2$ ни при каких а не выполнимо. А это значит, что при $D_1 больше 0$ и $D_2 больше 0$ система имеет не менее трех различных корней.
Осталось проверить случаи 2, 4, 6 и 8.
Найдем, при каких значениях а возможно совпадение корней уравнений (1) и (2). Для этого решим уравнение $x ^2 - ax - 6a - 3=x ^2 + ( a + 2 ) x + 6a - 3$ относительно х.
$x ^2 - ax - 6a - 3=x ^2 + ( a + 2 ) x + 6a - 3 = сильно$
$ = сильно - ax - 6a - 3=ax + 2x + 6a - 3 = сильно ( 2a + 2 ) x= - 12a = сильно x= - \frac{6a}{a + 1}$ $x ^2 - ax - 6a - 3=x ^2 + ( a + 2 ) x + 6a - 3 = сильно$
$ = сильно - ax - 6a - 3=ax + 2x + 6a - 3 = сильно$
$ = сильно ( 2a + 2 ) x= - 12a = сильно x= - \frac{6a}{a + 1}$
В случаях 2 и 4 уравнение (1) имеет два одинаковых корня $( D_1=0 )$
Это $x_1=x_2= \frac{a}{2}$ Тогда должно выполняться условие:
$ - $\frac{6a}{a + 1}$ = $\frac{a}{2}$ = сильно a ^2 + a= - 12a = сильно a ( a + 13 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка a=0 , новая строка a= - 13 \end{array} \right.$
$ - 12\pm 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента не = 0; - 12\pm 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента не = - 13$ (Сумма рационального числа и иррационального числа не может равняться рациональному числу). А это значит, что в этих случаях решения уравнения (1) совпасть хотя бы с одним корнем уравнения (2) при $a= - 12\pm 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента$ не может.
Следовательно, в случаях 2 и 4 система будет иметь ровно три различных решения.
Поверим случаи 6 и 8, в которых $D_2=0$
Корни уравнения (2) будут иметь вид: $x_3=x_4= - \frac{a + 2}{2}$ При совпадении такого корня хотя бы с одним из корней уравнения (1) должно выполняться условие:
$\frac{6a}{a + 1} = $\frac{a + 2}{2}$ = сильно a ^2 + 3a + 2 - 12a=0 = сильно$
$ = сильно a ^2 - 9a + 2=0 = сильно a= \frac{9\pm $\sqrt{аргумента: 81 - 8}$ аргумента}{2} = сильно a= \frac{9\pm $\sqrt{аргумента: 72}$ аргумента}{2}$ $\frac{6a}{a + 1} = $\frac{a + 2}{2}$ = сильно a ^2 + 3a + 2 - 12a=0 = сильно$
$ = сильно a ^2 - 9a + 2=0 = сильно$
$ = сильно a= \frac{9\pm $\sqrt{аргумента: 81 - 8}$ аргумента}{2} = сильно a= \frac{9\pm $\sqrt{аргумента: 72}$ аргумента}{2}$
Но при этом не выполняются равенства: $9\pm $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента =20 - 4 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента ;\9\pm $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента =20 + 4 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента$
Убедимся в этом. Предположим, что эти равенства выполняются. Тогда:
$9 - $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента =20 - 4 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента = сильно 4 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента =11 = сильно 16 \cdot 21 + 73 - 8 $\sqrt{аргумента: 21 \cdot 73}$ аргумента =121\Lefrightarrow$ $9 - $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента =20 - 4 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента = сильно 4 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента =11 = сильно$
$ = сильно 16 \cdot 21 + 73 - 8 $\sqrt{аргумента: 21 \cdot 73}$ аргумента =121\Lefrightarrow$
$ = сильно 288=8 $\sqrt{аргумента: 21 \cdot 73}$ аргумента = сильно 288 \cdot 288=64 \cdot 21 \cdot 73 = сильно 36 \cdot 36=21 \cdot 73$
Это равенство места не имеет, так как слева равенства получаем число четное, а справа — число нечетное.
$9 + $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента =20 - 4 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента = сильно 4 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента =11 = сильно$
$ = сильно 16 \cdot 21 + 73 + 8 $\sqrt{аргумента: 21 \cdot 73}$ аргумента =121 = сильно 288= - 8 $\sqrt{аргумента: 21 \cdot 73}$ аргумента$ $9 + $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента =20 - 4 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента = сильно 4 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента =11 = сильно$
$ = сильно 16 \cdot 21 + 73 + 8 $\sqrt{аргумента: 21 \cdot 73}$ аргумента =121 = сильно$
$ = сильно 288= - 8 $\sqrt{аргумента: 21 \cdot 73}$ аргумента$
Равенство невыполнимо, поскольку слева равенства число положительное, тогда как справа — отрицательное.
$9 - $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента =20 + 4 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента$ $ = сильно$ $4 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента + $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента = - 11$ (равенство невыполнимо из-за положительности левой части и отрицательности правой).
$9 + $\sqrt{аргумента: 73}$ аргумента =20 + 4 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента$ $ = сильно$ $\sqrt{аргумента: 73} аргумента - 4 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента =11$ $ = сильно$ $\sqrt{аргумента: 73} аргумента - $\sqrt{аргумента: 336}$ аргумента =11$ Однако, $\sqrt{аргумента: 73} аргумента - $\sqrt{аргумента: 336}$ аргумента меньше 0$ тогда как $11 больше 0$
Значит, в случаях 6 и 8 система также будет иметь ровно 3 различных решения.
Итак, искомыми значениями параметра а являются элементы множества
$( - бесконечность ; - 12 - 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента ] \cup [ - 12 + 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента ;10 - 2 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента ] \cup [ 10 + 2 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента ; + бесконечность )$
Ответ: $( - бесконечность ; - 12 - 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента ] \cup [ - 12 + 2 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента ;10 - 2 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента ] \cup [ 10 + 2 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента ; + бесконечность )$
Правильный ответ:
$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 12 минус 2 корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка минус 12 плюс 2 корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента ;10 минус 2 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 10 плюс 2 корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента ; плюс бесконечность правая круглая скобка$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 68640 • Задание №15
Решите неравенство: $дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скоб...
ID 71328 • Задание №18
Сумма двух натуральных чисел равна 43, а их наименьшее общее кратное в 120 раз больше их наибольшего общего де...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a
ИЛИ
установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a
ИЛИ
установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...