Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений
$$$\begin{cases} новая строка y= $\frac{( x - 1 ) ^2}{2}$ \\[6pt] новая строка десятичный \log ( 5 - a - y ) = десятичный \log ( a - x ) \end{cases}$$$
имеет решение.
$$$\begin{cases} новая строка y= $\frac{( x - 1 ) ^2}{2}$ \\[6pt] новая строка десятичный \log ( 5 - a - y ) = десятичный \log ( a - x ) \end{cases}$$$
имеет решение.
💡 Пошаговый разбор и решение:
Преобразуем систему так: $$$\begin{cases} новая строка y= $\frac{x ^2 - 2x + 1}{2}$ \\[6pt] новая строка 5 - a - y=a - x \\[6pt] новая строка a - x больше 0. \end{cases}$$$
Решим уравнение $5 - a - y=a - x$ относительно х, подставляя заданное значение у.
$x - $\frac{x ^2 - 2x + 1}{2}$ - 2a + 5=0 = сильно 2x - x ^2 + 2x - 1 - 4a + 10=0 = сильно x ^2 - 4x + 4a - 9=0$ $x - $\frac{x ^2 - 2x + 1}{2}$ - 2a + 5=0 = сильно$
$ = сильно 2x - x ^2 + 2x - 1 - 4a + 10=0 = сильно x ^2 - 4x + 4a - 9=0$ $x - $\frac{x ^2 - 2x + 1}{2}$ - 2a + 5=0 = сильно$
$ = сильно 2x - x ^2 + 2x - 1 - 4a + 10=0 = сильно$
$ = сильно x ^2 - 4x + 4a - 9=0$
Последнее уравнение будет иметь решение, если его четверть дискриминанта будет неотрицательной, т. е.
$4 - 4a + 9 больше или = 0 = сильно 4a меньше или = 13 = сильно a меньше или = 3,25$
При таких значениях а $x=2\pm $\sqrt{аргумента: 13 - 4a}$ аргумента$
Теперь рассмотрим неравенство $a - x больше 0$ на множестве $( - бесконечность ;3,25 ]$
Случай 1. $x=2 - $\sqrt{аргумента: 13 - 4a}$ аргумента$
$a - 2 + $\sqrt{аргумента: 13 - 4a}$ аргумента больше 0 = сильно a - 2 больше - $\sqrt{аргумента: 13 - 4a}$ аргумента = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка a - 2 больше или = 0 , новая строка $$\begin{cases} новая строка a - 2 меньше 0 \\[6pt] новая строка 2 - a меньше $\sqrt{аргумента: 13 - 4a}$ аргумента \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно$ $a - 2 + $\sqrt{аргумента: 13 - 4a}$ аргумента больше 0 = сильно a - 2 больше - $\sqrt{аргумента: 13 - 4a}$ аргумента = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка a - 2 больше или = 0 , новая строка $$\begin{cases} новая строка a - 2 меньше 0 \\[6pt] новая строка 2 - a меньше $\sqrt{аргумента: 13 - 4a}$ аргумента \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка a больше или = 2 , новая строка $$\begin{cases} новая строка a меньше 2 \\[6pt] новая строка 4 - 4a + a ^2 меньше 13 - 4a \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка a больше или = 2 , новая строка $$\begin{cases} новая строка a меньше 2 \\[6pt] новая строка a ^2 меньше 9 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка a больше или = 2 , новая строка $$\begin{cases} новая строка a меньше 2 \\[6pt] новая строка - 3 меньше a меньше 3 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка a больше или = 2 , новая строка - 3 меньше a меньше 2 \end{array} \right.$
С учетом того, что $a меньше или = 3,25$ получим: $ - 3 меньше a меньше или = 3,25$
Случай 2. $x=2 + $\sqrt{аргумента: 13 - 4a}$ аргумента$
$a - 2 - $\sqrt{аргумента: 13 - 4a}$ аргумента больше 0 = сильно a - 2 больше $\sqrt{аргумента: 13 - 4a}$ аргумента = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка a - 2 больше 0 \\[6pt] новая строка a ^2 - 4a + 4 больше 13 - 4a \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка a больше 2 \\[6pt] новая строка a ^2 больше 9 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка a больше 2 \\[6pt] новая строка \left[ \begin{array}{l} новая строка a меньше - 3 \\[6pt] новая строка a больше 3 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно a больше 3$ $a - 2 - $\sqrt{аргумента: 13 - 4a}$ аргумента больше 0 = сильно a - 2 больше $\sqrt{аргумента: 13 - 4a}$ аргумента = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка a - 2 больше 0 \\[6pt] новая строка a ^2 - 4a + 4 больше 13 - 4a \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка a больше 2 \\[6pt] новая строка a ^2 больше 9 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка a больше 2 \\[6pt] новая строка \left[ \begin{array}{l} новая строка a меньше - 3 \\[6pt] новая строка a больше 3 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно a больше 3$
С учетом того, что $a меньше или = 3,25$ имеем: $3 меньше a меньше или = 3,25$
Ясно, что при $a принадлежит ( - 3;3,25 ]$ каждому значению переменной х будет соответствовать вполне определенное значение переменной у.
Замечания:
1. При переходе из заданной в преобразованную систему включать в систему неравенство $5 - a - y больше 0$ надобности нет, поскольку выполнение условия $a - x больше 0$ уже обеспечит положительный знак левой части равенства $5 - a - y=a - x$
2. Нетрудно заметить, что при $ - 3 меньше a меньше или = 3$ а = 3,25 система будет иметь одно решение, а при 3 a Ответ: $( - 3; $\frac{13}{4}$ ]$
Решим уравнение $5 - a - y=a - x$ относительно х, подставляя заданное значение у.
$x - $\frac{x ^2 - 2x + 1}{2}$ - 2a + 5=0 = сильно 2x - x ^2 + 2x - 1 - 4a + 10=0 = сильно x ^2 - 4x + 4a - 9=0$ $x - $\frac{x ^2 - 2x + 1}{2}$ - 2a + 5=0 = сильно$
$ = сильно 2x - x ^2 + 2x - 1 - 4a + 10=0 = сильно x ^2 - 4x + 4a - 9=0$ $x - $\frac{x ^2 - 2x + 1}{2}$ - 2a + 5=0 = сильно$
$ = сильно 2x - x ^2 + 2x - 1 - 4a + 10=0 = сильно$
$ = сильно x ^2 - 4x + 4a - 9=0$
Последнее уравнение будет иметь решение, если его четверть дискриминанта будет неотрицательной, т. е.
$4 - 4a + 9 больше или = 0 = сильно 4a меньше или = 13 = сильно a меньше или = 3,25$
При таких значениях а $x=2\pm $\sqrt{аргумента: 13 - 4a}$ аргумента$
Теперь рассмотрим неравенство $a - x больше 0$ на множестве $( - бесконечность ;3,25 ]$
Случай 1. $x=2 - $\sqrt{аргумента: 13 - 4a}$ аргумента$
$a - 2 + $\sqrt{аргумента: 13 - 4a}$ аргумента больше 0 = сильно a - 2 больше - $\sqrt{аргумента: 13 - 4a}$ аргумента = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка a - 2 больше или = 0 , новая строка $$\begin{cases} новая строка a - 2 меньше 0 \\[6pt] новая строка 2 - a меньше $\sqrt{аргумента: 13 - 4a}$ аргумента \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно$ $a - 2 + $\sqrt{аргумента: 13 - 4a}$ аргумента больше 0 = сильно a - 2 больше - $\sqrt{аргумента: 13 - 4a}$ аргумента = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка a - 2 больше или = 0 , новая строка $$\begin{cases} новая строка a - 2 меньше 0 \\[6pt] новая строка 2 - a меньше $\sqrt{аргумента: 13 - 4a}$ аргумента \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка a больше или = 2 , новая строка $$\begin{cases} новая строка a меньше 2 \\[6pt] новая строка 4 - 4a + a ^2 меньше 13 - 4a \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка a больше или = 2 , новая строка $$\begin{cases} новая строка a меньше 2 \\[6pt] новая строка a ^2 меньше 9 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка a больше или = 2 , новая строка $$\begin{cases} новая строка a меньше 2 \\[6pt] новая строка - 3 меньше a меньше 3 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка a больше или = 2 , новая строка - 3 меньше a меньше 2 \end{array} \right.$
С учетом того, что $a меньше или = 3,25$ получим: $ - 3 меньше a меньше или = 3,25$
Случай 2. $x=2 + $\sqrt{аргумента: 13 - 4a}$ аргумента$
$a - 2 - $\sqrt{аргумента: 13 - 4a}$ аргумента больше 0 = сильно a - 2 больше $\sqrt{аргумента: 13 - 4a}$ аргумента = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка a - 2 больше 0 \\[6pt] новая строка a ^2 - 4a + 4 больше 13 - 4a \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка a больше 2 \\[6pt] новая строка a ^2 больше 9 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка a больше 2 \\[6pt] новая строка \left[ \begin{array}{l} новая строка a меньше - 3 \\[6pt] новая строка a больше 3 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно a больше 3$ $a - 2 - $\sqrt{аргумента: 13 - 4a}$ аргумента больше 0 = сильно a - 2 больше $\sqrt{аргумента: 13 - 4a}$ аргумента = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка a - 2 больше 0 \\[6pt] новая строка a ^2 - 4a + 4 больше 13 - 4a \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} новая строка a больше 2 \\[6pt] новая строка a ^2 больше 9 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка a больше 2 \\[6pt] новая строка \left[ \begin{array}{l} новая строка a меньше - 3 \\[6pt] новая строка a больше 3 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно a больше 3$
С учетом того, что $a меньше или = 3,25$ имеем: $3 меньше a меньше или = 3,25$
Ясно, что при $a принадлежит ( - 3;3,25 ]$ каждому значению переменной х будет соответствовать вполне определенное значение переменной у.
Замечания:
1. При переходе из заданной в преобразованную систему включать в систему неравенство $5 - a - y больше 0$ надобности нет, поскольку выполнение условия $a - x больше 0$ уже обеспечит положительный знак левой части равенства $5 - a - y=a - x$
2. Нетрудно заметить, что при $ - 3 меньше a меньше или = 3$ а = 3,25 система будет иметь одно решение, а при 3 a Ответ: $( - 3; $\frac{13}{4}$ ]$
Правильный ответ:
$левая круглая скобка минус 3; дробь: числитель: 13, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 65537 • Задание №6
[рис.] В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 27, $косинус A = дробь: числитель: 2, знамена...
ID 65178 • Задание №4
[рис.] Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке....
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a
ИЛИ
установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a
ИЛИ
установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...