Преобразуем каждое из уравнений системы.
а)  ##
$x ^2 y - x ( x ^2 - 6x + 9 ) =y ^2 + ( 2x + 3 ) y = сильно y ^2 - ( x ^2 - 2x - 3 ) y + x ( x - 3 ) ( x - 3 ) =0 = сильно$ $x ^2 y - x ( x ^2 - 6x + 9 ) =y ^2 + ( 2x + 3 ) y = сильно$
$ = сильно y ^2 - ( x ^2 - 2x - 3 ) y + x ( x - 3 ) ( x - 3 ) =0 = сильно$
$ = сильно y ^2 - ( x ^2 - 2x - 3 ) y + ( x ^2 - 3x ) ( x - 3 ) =0 = сильно y ^2 - ( x ^2 - 3x + x - 3 ) y + ( x ^2 - 3x ) ( x - 3 ) =0 = сильно$ $ = сильно y ^2 - ( x ^2 - 2x - 3 ) y + ( x ^2 - 3x ) ( x - 3 ) =0 = сильно$
$ = сильно y ^2 - ( x ^2 - 3x + x - 3 ) y + ( x ^2 - 3x ) ( x - 3 ) =0 = сильно$
$ = сильно y ^2 - ( ( x ^2 - 3x ) + ( x - 3 ) ) y + ( x ^2 - 3x ) ( x - 3 ) =0$

В соответствии с теоремой Виета: $\left[ \begin{array}{l} новая строка y=x ^2 - 3x , новая строка y=x - 3 . \end{array} \right.$
б)  ##
$4y - 4ax=12a - 9 = сильно 4y=4ax + 12a - 9 = сильно y=ax + 3a - \frac{9}{4}$

Теперь заданную систему запишем так:

$$$\begin{cases} новая строка ( y - ( x ^2 - 3x ) ) \cdot ( y - ( x - 3 ) ) =0 \\[6pt] новая строка y=ax + 3a - $\frac{9}{4}$ . \end{cases}$$$

Она (система) будет = сильна совокупности двух систем:

$$$\begin{cases} новая строка y=x ^2 - 3x \\[6pt] новая строка y=ax + 3a - $\frac{9}{4}$ . \end{cases}$$ . ( 1 ) $$\begin{cases} новая строка y=x - 3 \\[6pt] новая строка y=ax + 3a - $\frac{9}{4}$ . \end{cases}$$ . ( 2 )$

Рассмотрим систему (1). При этом:

$x ^2 - 3x=ax + 3a - $\frac{9}{4}$ = сильно x ^2 - ( 3 + a ) x - 3a + $\frac{9}{4}$ =0$

Это уравнение будет иметь решения, если его дискриминант будет неотрицательным.

$D=9 + 6a + a ^2 + 12a - 9=a ^2 + 18a=a ( a + 18 )$

Система (1) будет иметь ровно одно решение при $a= - 18$ или при $a=0$ Она же будет иметь ровно два решения при

$a ( a + 18 ) больше 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка a меньше - 18 , новая строка a больше 0 . \end{array} \right.$

При $ - 18 меньше a меньше 0$ система (1) решений не будет иметь. Теперь рассмотрим систему (2).
Перепишем ее так:

$$$\begin{cases} новая строка x - y=3 \\[6pt] новая строка ax - y= - 3a + $\frac{9}{4}$ \end{cases}$$$

Найдем ее главный определитель

$\Delta =\left| \beginalign новая строка 1 - 1 , новая строка a - 1 \endalign |= - 1 + a=a - 1$

Вычислим ее вспомогательные определители:

$\Delta _x=\left| \beginalign новая строка 3 - 1 , новая строка - 3a + $\frac{9}{4}$ - 1 \endalign |= - 3 - 3a + $\frac{9}{4}$ = - 3a - $\frac{3}{4}$ ;\Delta _y=$
$=\left| \beginalign новая строка 1 3 , новая строка a - 3a + $\frac{9}{4}$ \endalign |= - 3a + $\frac{9}{4}$ - 3a= - 6a + \frac{9}{4}$ $\Delta _x=\left| \beginalign новая строка 3 - 1 , новая строка - 3a + $\frac{9}{4}$ - 1 \endalign |= - 3 - 3a + $\frac{9}{4}$ =$
$= - 3a - $\frac{3}{4}$ ;\Delta _y=\left| \beginalign новая строка 1 3 , новая строка a - 3a + $\frac{9}{4}$ \endalign |=$
$= - 3a + $\frac{9}{4}$ - 3a= - 6a + \frac{9}{4}$

$x= - \frac{3a + $\frac{3}{4}$ ,}{a - 1} ; y= - \frac{6a - $\frac{3}{4}$ ,}{a - 1}$

При $a=1$ система либо не имеет решений, либо имеет бесчисленное множество решений. Случай бесчисленного множества решений исключается, так как для того чтобы система (2) имела бесчисленное множество решений, кроме условия $a=1$ потребуется выполнение равенства $ - 3=3a - \frac{9}{4}$ Однако оно не выполнимо, так как

$ - 3 не = 3 - $\frac{9}{4}$ = сильно $\frac{9}{4}$ не = 6$

Следовательно, при $a=1$ система (2) решений не имеет. При любых других значениях а система (2) будет иметь ровно одно решение. Заметим, что системы (1) и (2) также могут иметь совпадающие решения. Найдем их, если они имеются. Решим уравнение $x ^2 - 3x=x - 3$

$x ( x - 3 ) - ( x - 3 ) =0 = сильно x ( x - 3 ) - ( x - 3 ) =0 = сильно ( x - 3 ) ( x - 1 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x=3 , новая строка x=1 \end{array} \right.$ $x ( x - 3 ) - ( x - 3 ) =0 = сильно x ( x - 3 ) - ( x - 3 ) =0 = сильно$
$ = сильно ( x - 3 ) ( x - 1 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x=3 , новая строка x=1 \end{array} \right.$

$y|_x=3=0$ $y|_x=1= - 2$

При $x=3,y=0$ : $3a + 3a - $\frac{9}{4}$ =0 = сильно 2a= $\frac{3}{4}$ = сильно a= \frac{3}{8}$
При $x=1,y= - 2$ : $a + 3a - $\frac{9}{4}$ = - 2 = сильно 4a= $\frac{9}{4}$ - 2 = сильно 4a= $\frac{1}{4}$ = сильно a= \frac{1}{16}$
Итак, при $a= \frac{1}{16}$ или $a= \frac{3}{8}$ системы (1) и (2), следовательно, и исходная система имеют ровно два решения: (3; 0) и (1; –2). Обобщим наши исследования и для большей наглядности данные занесем в таблицу:

Значения параметра a
Система (1) имеет:
Система (2) имеет:

$( - бесконечность ; - 18 )$
ровно 2 решения
ровно 1 решение

$\{ - 18 \}$
ровно 1 решение
ровно 1 решение

$( - 18;0 )$
решений нет
ровно 1 решение

0
ровно 1 решение
ровно 1 решение

$( 0; $\frac{1}{16}$ )$
ровно 2 решения
ровно 1 решение

$\{ $\frac{1}{16}$ \}$
ровно 2 решения (тождественное их совпадение)

$( $\frac{1}{16}$ ; $\frac{3}{8}$ )$
ровно 2 решения
ровно 1 решение

$\{ $\frac{3}{8}$ \}$
ровно 2 решения (тождественное их совпадение)

$( $\frac{3}{8}$ ;1 )$
ровно 2 решения
ровно 1 решение

1
ровно 2 решения
решений нет

( $1; + бесконечность )$
ровно 2 решения
ровно 1 решение

Ответ: $ - 18;0; $\frac{1}{16}$ ; $\frac{3}{8}$ ;1$