Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140.
а) Существуют ли двадцать последовательных четырёхзначных чисел, среди которых есть три очень счастливых?
б) Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2016?
в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.
а) Существуют ли двадцать последовательных четырёхзначных чисел, среди которых есть три очень счастливых?
б) Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2016?
в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Примером таких чисел являются 5014, 5015, …, 5033. Очень счастливыми среди них являются числа 5014, 5023 и 5032.
б) Предположим, что это возможно. Пусть $\overlineabcd$ — десятичная запись меньшего из этих двух очень счастливых чисел, а $\overlineklmn$ — десятичная запись большего из них. Из условия следует, что либо 10с + d + 16 = 10m + n, либо 10c + d + 16 = 100 + 10m + n. Отсюда получаем, что либо (m + n) − (c + d) = 9(c – m + 1) + 7, либо (m + n) − (c + d) = 9(c − m − 10) + 6. Значит, число (m + n) − (c + d) даёт при делении на 9 или остаток 7, или остаток 6.
Также из условия следует, что либо 1000a + 100b + 2000 = 1000k + 100l, либо 1000a + 100b + 2100 = 1000k + 100l.
Отсюда получаем, что либо (k + l) − (a + b) = 9(a − k + 2) + 2, либо (k + l) − (a + b) = 9(a − k + 2) + 3. Значит, число (k + l) − (a + b) даёт при делении на 9 или остаток 2, или остаток 3. Приходим к противоречию, поскольку по условию (k + l) − (a + b) = (m + n) − (c + d).
в) Покажем, что искомое число = 11. Для этого сначала приведём примеры очень счастливых четырёхзначных чисел, кратных 2, 3, 5 и 7: число 2680 кратно 2 и 5; число 1890 кратно 3 и 7.
Пусть $\overlineabcd$ — десятичная запись какого-либо очень счастливого числа, кратного 11. Тогда
$\overlineabcd=1000a + 100b + 10c + d=11 ( 91a + 9b + c ) + ( b - a + d - c )$
Получаем, что число b − a + d − c кратно 11. Поскольку a , b, c и d — цифры, отсюда следует, что либо b − a + d − c = 0, либо b − a + d − c = 11, либо b − a + d − c = −11.
В первом случае имеем a + b = c + d и a + c = b + d. Вычитая эти равенства, получаем b − c = c − b, то есть b = c, — противоречие. Во втором случае имеем a + b = c + d и a + c + 11 = b + d. Вычитая эти равенства, получаем b − c − 11 = c − b, то есть 2(b − c) = 11, — тоже противоречие, поскольку 11 не кратно 2. Аналогичное противоречие получается и в третьем случае. Значит, не существует очень счастливых четырёхзначных чисел, кратных 11.
Ответ: а) да, например 5014, 5015, …, 5033; б) нет; в) 11.
б) Предположим, что это возможно. Пусть $\overlineabcd$ — десятичная запись меньшего из этих двух очень счастливых чисел, а $\overlineklmn$ — десятичная запись большего из них. Из условия следует, что либо 10с + d + 16 = 10m + n, либо 10c + d + 16 = 100 + 10m + n. Отсюда получаем, что либо (m + n) − (c + d) = 9(c – m + 1) + 7, либо (m + n) − (c + d) = 9(c − m − 10) + 6. Значит, число (m + n) − (c + d) даёт при делении на 9 или остаток 7, или остаток 6.
Также из условия следует, что либо 1000a + 100b + 2000 = 1000k + 100l, либо 1000a + 100b + 2100 = 1000k + 100l.
Отсюда получаем, что либо (k + l) − (a + b) = 9(a − k + 2) + 2, либо (k + l) − (a + b) = 9(a − k + 2) + 3. Значит, число (k + l) − (a + b) даёт при делении на 9 или остаток 2, или остаток 3. Приходим к противоречию, поскольку по условию (k + l) − (a + b) = (m + n) − (c + d).
в) Покажем, что искомое число = 11. Для этого сначала приведём примеры очень счастливых четырёхзначных чисел, кратных 2, 3, 5 и 7: число 2680 кратно 2 и 5; число 1890 кратно 3 и 7.
Пусть $\overlineabcd$ — десятичная запись какого-либо очень счастливого числа, кратного 11. Тогда
$\overlineabcd=1000a + 100b + 10c + d=11 ( 91a + 9b + c ) + ( b - a + d - c )$
Получаем, что число b − a + d − c кратно 11. Поскольку a , b, c и d — цифры, отсюда следует, что либо b − a + d − c = 0, либо b − a + d − c = 11, либо b − a + d − c = −11.
В первом случае имеем a + b = c + d и a + c = b + d. Вычитая эти равенства, получаем b − c = c − b, то есть b = c, — противоречие. Во втором случае имеем a + b = c + d и a + c + 11 = b + d. Вычитая эти равенства, получаем b − c − 11 = c − b, то есть 2(b − c) = 11, — тоже противоречие, поскольку 11 не кратно 2. Аналогичное противоречие получается и в третьем случае. Значит, не существует очень счастливых четырёхзначных чисел, кратных 11.
Ответ: а) да, например 5014, 5015, …, 5033; б) нет; в) 11.
Правильный ответ:
а) да, например 5014, 5015, …, 5033; б) нет; в) 11
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 65990 • Задание №8
Решите систему уравнений $система выражений дробь: числитель: 2 синус в квадрате x плюс 3 синус x плюс 1, знам...
ID 65203 • Задание №4
[рис.] Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1;1), (10;1), (8;6), (5;6)....
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
― пример в п. а;
― обоснованное решение в п. б;
― искомая оценка в п. в;
― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
― пример в п. а;
― обоснованное решение в п. б;
― искомая оценка в п. в;
― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...