На окружности некоторым способом расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?
в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k?
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?
в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k?
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) При любой расстановке разность числа 11 и любого соседнего с ним числа меньше 11. Значит, всегда найдутся хотя бы две разности меньше 11.
б) Например, для расстановки 1, 12, 2, 13, 3, 14, 4, 15, 5, 16, 6, 17, 7, 18, 8, 19, 9, 20, 10, 21, 11 все разности не меньше 10.
в) Оценим значение k. Рассмотрим числа от 1 до 7. Если какие-то два из них стоят рядом или через одно, то найдется разность меньше 7. Иначе они стоят через два, поскольку всего чисел 21. В этом случае число 8 стоит рядом или через одно с каким-то числом от 2 до 7 и найдется разность меньше 7.
Таким образом, всегда найдется разность меньше 7. Все разности могут быть не меньше 6. Например, для расстановки 1, 8, 15, 2, 9, 16, 3, 10, 17, 4, 11, 18, 5, 12, 19, 6, 13, 20, 7, 14, 21 все разности не меньше 6.
Ответ: а) нет; б) да; в) 6.
б) Например, для расстановки 1, 12, 2, 13, 3, 14, 4, 15, 5, 16, 6, 17, 7, 18, 8, 19, 9, 20, 10, 21, 11 все разности не меньше 10.
в) Оценим значение k. Рассмотрим числа от 1 до 7. Если какие-то два из них стоят рядом или через одно, то найдется разность меньше 7. Иначе они стоят через два, поскольку всего чисел 21. В этом случае число 8 стоит рядом или через одно с каким-то числом от 2 до 7 и найдется разность меньше 7.
Таким образом, всегда найдется разность меньше 7. Все разности могут быть не меньше 6. Например, для расстановки 1, 8, 15, 2, 9, 16, 3, 10, 17, 4, 11, 18, 5, 12, 19, 6, 13, 20, 7, 14, 21 все разности не меньше 6.
Ответ: а) нет; б) да; в) 6.
Правильный ответ:
а) нет; б) да; в) 6
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 66791 • Задание №10
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка M — середина стороны BC.
а) Докажите, что прямая A1C параллельна плоско...
ID 68331 • Задание №14
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра BC = 5 и AB = AA1 = 8, M и N — середины реб...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные результаты (см. критерий на 1 балл). | 4
Верно получены три из перечисленных результатов (см. критерий на 1 балл). | 3
Верно получены два из перечисленных результатов (см. критерий на 1 балл). | 2
Верно получен один из перечисленных результатов:
― приведен верный пример в пункте а;
― обоснованное решение пункта б;
― доказательство невозможности равенства полученных произведений в;
― доказательство того, что любое четное натуральное число является
ответом на вопрос пункта в. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные результаты (см. критерий на 1 балл). | 4
Верно получены три из перечисленных результатов (см. критерий на 1 балл). | 3
Верно получены два из перечисленных результатов (см. критерий на 1 балл). | 2
Верно получен один из перечисленных результатов:
― приведен верный пример в пункте а;
― обоснованное решение пункта б;
― доказательство невозможности равенства полученных произведений в;
― доказательство того, что любое четное натуральное число является
ответом на вопрос пункта в. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...