[рис.] а)  Проведём отрезок A1B  — диагональ грани AA1B1B. Пусть N  — точка пересечения диагоналей, тогда N  — середина A1B. В треугольнике A1BC отрезок MN  — средняя линия (лежит в плоскости AB1M), следовательно, прямые MN и A1C параллельны. Тогда прямая A1C параллельна плоскости AMB1.
б)  Проведём через точку C прямую, параллельную B1M, а через точку A1 прямую, параллельную AB1. Так как $BM=MC$ а $BN=NA$ они пересекутся в одной точке на прямой BB1. Назовём эту точку B2 и заметим, что $BB_1=B_1B_2$ Точку пересечения прямой $A_1B_2$ с ребром AB назовём A2. Заметим, что плоскость A2B2C параллельна плоскости AB1M, и при этом плоскость A2B2C содержит прямую A1C. Расстояние от прямой A1C до плоскости AB1M = расстоянию между плоскостями A2B2C и AB1M и = разности между длинами высот подобных пирамид BA2B2C и BAB1M. Коэффициент подобия этих пирамид $k=2$ Значит, искомое расстояние = высоте пирамиды BAB1M. Вычислим объем пирамиды BAB1M:

$V_BAB_1M= $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot AB \cdot BM \cdot BB_1= $\frac{1}{6}$ \cdot 5 \cdot 2 \cdot 2= \frac{10}{3}$

Посчитаем объём другим способом. В треугольнике AB1M: $B_1M=2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ $AM=AB_1= $\sqrt{аргумента: 29}$ аргумента$ откуда

$S_AB_1M= $\frac{1}{2}$ \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: 29 - 2}$ аргумента =3 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента$

Тогда

$h_AB_1M= $\frac{3V_BAB_1M}{S_AB_1M}$ = $\frac{3 \cdot \tfrac10}{3}$ 3 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента = \frac{10 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{18} = \frac{5 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{9}$

Ответ: $\frac{5 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{9}$