а)  Примером таких чисел являются числа 6222 и 6219.
б)  Предположим, что такие числа существуют. Рассмотрим какие-⁠либо два таких интересных числа. Пусть $\overlineabcd$   — десятичная запись большего из них, а k  — та из цифр a, b, c или d, которая равна сумме трёх других. Тогда сумма цифр этого числа равна 2k, то есть чётна. Аналогично получаем, что сумма цифр меньшего из рассматриваемых интересных чисел также чётна. Так как d ≠ 0, четвёртая цифра меньшего из рассматриваемых интересных чисел равна d − 1. Так как c ≠ 0, третья цифра этого числа равна c − 1.
Аналогично получаем, что вторая цифра этого числа равна b − 1. Наконец, первая цифра этого числа равна a. Значит, сумма цифр меньшего из рассматриваемых интересных чисел на три меньше суммы чисел большего из них. Пришли к противоречию.
в)  Покажем, что искомое число = 11. Для этого сначала приведём примеры интересных четырёхзначных чисел, кратных 2, 3, 5, и 7: число 2114 кратно 2 и 7, число 9135 кратно 3 и 5.
Пусть $\overlineabcd$   — десятичная запись какого-⁠либо интересного числа, кратного 11. Тогда

$\overlineabcd=1000a + 100b + 10c + d=11 ( 91a + 9b + c ) + ( b - a + d - c )$

Получаем, что число b − a + d − c кратно 11. Поскольку a, b, c и d  — цифры, отсюда следует, что либо b + d  =  a + c, либо эти две суммы отличаются на 11. Составим две пары чисел: a и c, b и d. Пусть k  — та из цифр a, b, c и d, которая равна сумме трёх других, l  — та из них, которая в паре с k. Пусть m и n  — две оставшиеся из цифр a, b, c и d. Поскольку k  =  l + m + n, имеем k + l > m + n. Значит, k + l  =  m + n + 11. Вычитая из этого равенства равенство k  =  l + m + n, получаем l  =  11 − l . Следовательно, 2l  =  11. Пришли к противоречию. Значит, не существует интересных четырёхзначных чисел, кратных 11.

Ответ: а)  да, например 6222 и 6219; б)  нет; в)  11.