Возрастающие арифметические прогрессии a1, a2, ..., an, ... и b1, b2, ..., bn, ... состоят из натуральных чисел.
а) Существуют ли такие прогрессии, для которых $\frac{a_1}{b_1} , \frac{a_2}{b_2}$ и $\frac{a_4}{b_4}$ — различные натуральные числа?
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых $\frac{a_1}{b_1} , \frac{b_2}{a_2}$ и $\frac{a_4}{b_4}$ — различные натуральные числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать дробь $\frac{a_2}{b_2}$ если известно, что $\frac{a_1}{b_1} , \frac{a_2}{b_2}$ и $\frac{a_10}{b_10}$ — различные натуральные числа?
а) Существуют ли такие прогрессии, для которых $\frac{a_1}{b_1} , \frac{a_2}{b_2}$ и $\frac{a_4}{b_4}$ — различные натуральные числа?
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых $\frac{a_1}{b_1} , \frac{b_2}{a_2}$ и $\frac{a_4}{b_4}$ — различные натуральные числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать дробь $\frac{a_2}{b_2}$ если известно, что $\frac{a_1}{b_1} , \frac{a_2}{b_2}$ и $\frac{a_10}{b_10}$ — различные натуральные числа?
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Подходящим примером являются прогрессии 1, 6, 11, 16, ... и 1, 2, 3, 4, ... соответственно. Для этих прогрессий имеем: $\frac{a_1}{b_1} =1, $\frac{a_2}{b_2}$ =3$ и $\frac{a_4}{b_4} =4$
б) Предположим, что такие прогрессии существуют. Тогда одно из чисел $\frac{a_1}{b_1}$ или $\frac{b_2}{a_2}$ не меньше 1, а второе больше 1. Значит, либо $a_1 больше или = b_1$ и $a_2 меньше b_2$ либо $a_1 больше b_1$ и $a_2 меньше или = b_2$ и, следовательно, $a_2 - a_1 меньше b_2 - b_1$ Отсюда, используя свойства арифметической прогрессии, получаем
$a_4=a_2 + 2 ( a_2 - a_1 ) меньше b_2 + 2 ( b_2 - b_1 ) =b_4$ и $\frac{a_4}{b_4} меньше 1$
Пришли к противоречию.
в) Обозначим через c и d разности арифметических прогрессий a1, a2, ..., an, ... и b1, b2, ..., bn, ... соответственно. Из условия следует, что числа c и d натуральные, а $\frac{a_2}{b_2} - \frac{a_1}{b_1}$ и $\frac{a_10}{b_10} - \frac{a_2}{b_2}$ целые и не равные нулю. Имеем
$\frac{a_2}{b_2} - $\frac{a_1}{b_1}$ = $\frac{a_1 + c}{b_1 + d}$ - $\frac{a_1}{b_1}$ = \frac{cb_1 - da_1}{b_1 ( b_1 + d )}$ и
$\frac{a_10}{b_10} - $\frac{a_2}{b_2}$ = $\frac{a_1 + 9c}{b_1 + 9d}$ - $\frac{a_1 + c}{b_1 + d}$ = \frac{8 ( cb_1 - da_1 )}{( b_1 + d ) ( b_1 + 9d )}$
Знаменатели дробей $\frac{cb_1 - da_1}{b_1 ( b_1 + d )}$ и $\frac{8 ( cb_1 - da_1 )}{( b_1 + d ) ( b_1 + 9d )}$ положительны, а числители этих дробей имеют одинаковый знак. Значит, числа $\frac{a_2}{b_2} - \frac{a_1}{b_1}$ и $\frac{a_10}{b_10} - \frac{a_2}{b_2}$ имеют одинаковый знак, то есть либо $1 меньше или = $\frac{a_1}{b_1}$ меньше $\frac{a_2}{b_2}$ меньше \frac{a_10}{b_10}$ либо $1 меньше или = $\frac{a_10}{b_10}$ меньше $\frac{a_2}{b_2}$ меньше \frac{a_1}{b_1}$ В обоих случаях получаем, что $\frac{a_2}{b_2} больше или = 2$
Если прогрессии a1, a2, ..., an, ... и b1, b2, ..., bn, ... являются прогрессиями 9, 32, ..., 216, ... и 9, 16, ..., 72, ... соответственно, то $\frac{a_1}{b_1} =1, $\frac{a_2}{b_2}$ =2$ и $\frac{a_10}{b_10} =3$
Этот пример показывает, что наименьшее возможное значение дроби $\frac{a_2}{b_2}$ = 2.
Ответ: а) да, например 1, 6, 11, 16, ... и 1, 2, 3, 4, ...; б) нет; в) 2.
б) Предположим, что такие прогрессии существуют. Тогда одно из чисел $\frac{a_1}{b_1}$ или $\frac{b_2}{a_2}$ не меньше 1, а второе больше 1. Значит, либо $a_1 больше или = b_1$ и $a_2 меньше b_2$ либо $a_1 больше b_1$ и $a_2 меньше или = b_2$ и, следовательно, $a_2 - a_1 меньше b_2 - b_1$ Отсюда, используя свойства арифметической прогрессии, получаем
$a_4=a_2 + 2 ( a_2 - a_1 ) меньше b_2 + 2 ( b_2 - b_1 ) =b_4$ и $\frac{a_4}{b_4} меньше 1$
Пришли к противоречию.
в) Обозначим через c и d разности арифметических прогрессий a1, a2, ..., an, ... и b1, b2, ..., bn, ... соответственно. Из условия следует, что числа c и d натуральные, а $\frac{a_2}{b_2} - \frac{a_1}{b_1}$ и $\frac{a_10}{b_10} - \frac{a_2}{b_2}$ целые и не равные нулю. Имеем
$\frac{a_2}{b_2} - $\frac{a_1}{b_1}$ = $\frac{a_1 + c}{b_1 + d}$ - $\frac{a_1}{b_1}$ = \frac{cb_1 - da_1}{b_1 ( b_1 + d )}$ и
$\frac{a_10}{b_10} - $\frac{a_2}{b_2}$ = $\frac{a_1 + 9c}{b_1 + 9d}$ - $\frac{a_1 + c}{b_1 + d}$ = \frac{8 ( cb_1 - da_1 )}{( b_1 + d ) ( b_1 + 9d )}$
Знаменатели дробей $\frac{cb_1 - da_1}{b_1 ( b_1 + d )}$ и $\frac{8 ( cb_1 - da_1 )}{( b_1 + d ) ( b_1 + 9d )}$ положительны, а числители этих дробей имеют одинаковый знак. Значит, числа $\frac{a_2}{b_2} - \frac{a_1}{b_1}$ и $\frac{a_10}{b_10} - \frac{a_2}{b_2}$ имеют одинаковый знак, то есть либо $1 меньше или = $\frac{a_1}{b_1}$ меньше $\frac{a_2}{b_2}$ меньше \frac{a_10}{b_10}$ либо $1 меньше или = $\frac{a_10}{b_10}$ меньше $\frac{a_2}{b_2}$ меньше \frac{a_1}{b_1}$ В обоих случаях получаем, что $\frac{a_2}{b_2} больше или = 2$
Если прогрессии a1, a2, ..., an, ... и b1, b2, ..., bn, ... являются прогрессиями 9, 32, ..., 216, ... и 9, 16, ..., 72, ... соответственно, то $\frac{a_1}{b_1} =1, $\frac{a_2}{b_2}$ =2$ и $\frac{a_10}{b_10} =3$
Этот пример показывает, что наименьшее возможное значение дроби $\frac{a_2}{b_2}$ = 2.
Ответ: а) да, например 1, 6, 11, 16, ... и 1, 2, 3, 4, ...; б) нет; в) 2.
Правильный ответ:
а) да, например 1, 6, 11, 16, ... и 1, 2, 3, 4, ...; б) нет; в) 2
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67633 • Задание №13
а) Решите уравнение $синус левая круглая скобка Пи минус x правая круглая скобка минус косинус левая круглая ...
ID 65923 • Задание №8
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−18; 6). Найдите количество т...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующий результатов:
― обоснованное решение в п. а;
― пример в п. б;
― искомая оценка в п. в;
― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующий результатов:
― обоснованное решение в п. а;
― пример в п. б;
― искомая оценка в п. в;
― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...