а)  Ясно, что в паре с числом 7 может быть только число 2, в паре с числом 6 только число 3 и в паре с числом 5 только число 4. Значит, последнюю пару составят две единицы, но 1 + 1 не будет точным квадратом.
б)  Это возможно, если взять в пары числа 1 + 3, 2 + 2, 3 + 1 и 12 + 4, 11 + 5,  ...,  4 + 12.
в)  Подберем число a так, чтобы числа a + 1 и a + 1 + 2015 были точными квадратами. Тогда можно будет разбить на пары все числа от 1 до a, где в каждой паре сумма a + 1, и все остальные числа, где в каждой паре сумма a + 2016.
Из уравнений $a + 1=x ^2$ и $a + 2016=y ^2$ получим $y ^2 - x ^2 =2015$ то есть $( y - x ) ( y + x ) =5 \cdot 13 \cdot 31$ Пусть, например, y − x  =  31 и y + x  =  65, откуда y  =  48 и x  =  17, a  =  288.

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  да.