Для действительного числа x обозначим через [x] наибольшее целое число, не превосходящее x. Например, $[ $\frac{11}{4}$ ] =2$ так как $2 меньше или = $\frac{11}{4}$ меньше 3$
а) Существует ли такое натуральное число n, что $[ $\frac{n}{2}$ ] + [ $\frac{n}{4}$ ] + [ $\frac{n}{7}$ ] =n$ ?
б) Существует ли такое натуральное число n, что $[ $\frac{n}{2}$ ] + [ $\frac{n}{3}$ ] + [ $\frac{n}{4}$ ] =n + 2$ ?
в) Сколько существует различных натуральных n, для которых $[ $\frac{n}{2}$ ] + [ $\frac{n}{3}$ ] + [ $\frac{n}{9}$ ] + [ $\frac{n}{17}$ ] =n + 1945$ ?
а) Существует ли такое натуральное число n, что $[ $\frac{n}{2}$ ] + [ $\frac{n}{4}$ ] + [ $\frac{n}{7}$ ] =n$ ?
б) Существует ли такое натуральное число n, что $[ $\frac{n}{2}$ ] + [ $\frac{n}{3}$ ] + [ $\frac{n}{4}$ ] =n + 2$ ?
в) Сколько существует различных натуральных n, для которых $[ $\frac{n}{2}$ ] + [ $\frac{n}{3}$ ] + [ $\frac{n}{9}$ ] + [ $\frac{n}{17}$ ] =n + 1945$ ?
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Заметим, что $[ x ] меньше или = x$ поэтому
$[ $\frac{n}{2}$ ] + [ $\frac{n}{4}$ ] + [ $\frac{n}{7}$ ] меньше или = $\frac{n}{2}$ + $\frac{n}{4}$ + $\frac{n}{7}$ = $\frac{25n}{28}$ меньше n$
Значит, равенство невозможно.
б) Пусть n = 24. Тогда
$[ $\frac{n}{2}$ ] + [ $\frac{n}{3}$ ] + [ $\frac{n}{4}$ ] = [ $\frac{24}{2}$ ] + [ $\frac{24}{3}$ ] + [ $\frac{24}{4}$ ] =12 + 8 + 6=26=24 + 2$
в) Отметим, что при целом a и любом x выполнено равенство $[ a + x ] =a + [ x ]$ Запишем n в виде $n=306k + t$ где $0 меньше или = t меньше или = 305$ Тогда
$[ $\frac{n}{2}$ ] + [ $\frac{n}{3}$ ] + [ $\frac{n}{9}$ ] + [ $\frac{n}{17}$ ] = [ $\frac{306k + t}{2}$ ] + [ $\frac{306k + t}{3}$ ] + [ $\frac{306k + t}{9}$ ] + [ $\frac{306k + t}{17}$ ] =$ $[ $\frac{n}{2}$ ] + [ $\frac{n}{3}$ ] + [ $\frac{n}{9}$ ] + [ $\frac{n}{17}$ ] =$
$= [ $\frac{306k + t}{2}$ ] + [ $\frac{306k + t}{3}$ ] + [ $\frac{306k + t}{9}$ ] + [ $\frac{306k + t}{17}$ ] =$
$= [ 153k + $\frac{t}{2}$ ] + [ 102k + $\frac{t}{3}$ ] + [ 34k + $\frac{t}{9}$ ] + [ 18k + $\frac{t}{17}$ ] =$
$= 153k + [ $\frac{t}{2}$ ] + 102k + [ $\frac{t}{3}$ ] + 34k + [ $\frac{t}{9}$ ] + 18k + [ $\frac{t}{17}$ ] = 307k + [ $\frac{t}{2}$ ] + [ $\frac{t}{3}$ ] + [ $\frac{t}{9}$ ] + [ $\frac{t}{17}$ ]$ $= 153k + [ $\frac{t}{2}$ ] + 102k + [ $\frac{t}{3}$ ] + 34k + [ $\frac{t}{9}$ ] + 18k + [ $\frac{t}{17}$ ] =$
$= 307k + [ $\frac{t}{2}$ ] + [ $\frac{t}{3}$ ] + [ $\frac{t}{9}$ ] + [ $\frac{t}{17}$ ]$
По условию,
$307k + [ $\frac{t}{2}$ ] + [ $\frac{t}{3}$ ] + [ $\frac{t}{9}$ ] + [ $\frac{t}{17}$ ] =306k + t + 1945$
откуда
$k=t + 1945 - [ $\frac{t}{2}$ ] - [ $\frac{t}{3}$ ] - [ $\frac{t}{9}$ ] - [ $\frac{t}{17}$ ]$
То есть при любом t найдется ровно одно подходящее k, поскольку
$t + 1945 - [ $\frac{t}{2}$ ] - [ $\frac{t}{3}$ ] - [ $\frac{t}{9}$ ] - [ $\frac{t}{17}$ ] больше 1945 - 4 \cdot 306 больше 0$
Значит, всего подходящих n ровно 306 — по одному с каждым остатком от деления на 306.
Ответ: а) нет; б) да; в) 306.
$[ $\frac{n}{2}$ ] + [ $\frac{n}{4}$ ] + [ $\frac{n}{7}$ ] меньше или = $\frac{n}{2}$ + $\frac{n}{4}$ + $\frac{n}{7}$ = $\frac{25n}{28}$ меньше n$
Значит, равенство невозможно.
б) Пусть n = 24. Тогда
$[ $\frac{n}{2}$ ] + [ $\frac{n}{3}$ ] + [ $\frac{n}{4}$ ] = [ $\frac{24}{2}$ ] + [ $\frac{24}{3}$ ] + [ $\frac{24}{4}$ ] =12 + 8 + 6=26=24 + 2$
в) Отметим, что при целом a и любом x выполнено равенство $[ a + x ] =a + [ x ]$ Запишем n в виде $n=306k + t$ где $0 меньше или = t меньше или = 305$ Тогда
$[ $\frac{n}{2}$ ] + [ $\frac{n}{3}$ ] + [ $\frac{n}{9}$ ] + [ $\frac{n}{17}$ ] = [ $\frac{306k + t}{2}$ ] + [ $\frac{306k + t}{3}$ ] + [ $\frac{306k + t}{9}$ ] + [ $\frac{306k + t}{17}$ ] =$ $[ $\frac{n}{2}$ ] + [ $\frac{n}{3}$ ] + [ $\frac{n}{9}$ ] + [ $\frac{n}{17}$ ] =$
$= [ $\frac{306k + t}{2}$ ] + [ $\frac{306k + t}{3}$ ] + [ $\frac{306k + t}{9}$ ] + [ $\frac{306k + t}{17}$ ] =$
$= [ 153k + $\frac{t}{2}$ ] + [ 102k + $\frac{t}{3}$ ] + [ 34k + $\frac{t}{9}$ ] + [ 18k + $\frac{t}{17}$ ] =$
$= 153k + [ $\frac{t}{2}$ ] + 102k + [ $\frac{t}{3}$ ] + 34k + [ $\frac{t}{9}$ ] + 18k + [ $\frac{t}{17}$ ] = 307k + [ $\frac{t}{2}$ ] + [ $\frac{t}{3}$ ] + [ $\frac{t}{9}$ ] + [ $\frac{t}{17}$ ]$ $= 153k + [ $\frac{t}{2}$ ] + 102k + [ $\frac{t}{3}$ ] + 34k + [ $\frac{t}{9}$ ] + 18k + [ $\frac{t}{17}$ ] =$
$= 307k + [ $\frac{t}{2}$ ] + [ $\frac{t}{3}$ ] + [ $\frac{t}{9}$ ] + [ $\frac{t}{17}$ ]$
По условию,
$307k + [ $\frac{t}{2}$ ] + [ $\frac{t}{3}$ ] + [ $\frac{t}{9}$ ] + [ $\frac{t}{17}$ ] =306k + t + 1945$
откуда
$k=t + 1945 - [ $\frac{t}{2}$ ] - [ $\frac{t}{3}$ ] - [ $\frac{t}{9}$ ] - [ $\frac{t}{17}$ ]$
То есть при любом t найдется ровно одно подходящее k, поскольку
$t + 1945 - [ $\frac{t}{2}$ ] - [ $\frac{t}{3}$ ] - [ $\frac{t}{9}$ ] - [ $\frac{t}{17}$ ] больше 1945 - 4 \cdot 306 больше 0$
Значит, всего подходящих n ровно 306 — по одному с каждым остатком от деления на 306.
Ответ: а) нет; б) да; в) 306.
Правильный ответ:
а) нет; б) да; в) 306
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 66108 • Задание №8
а) Решите уравнение $синус 3x плюс косинус 2x плюс 2=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отре...
ID 65593 • Задание №6
[рис.] В треугольнике ABC угол C равен 90°, $косинус A = дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из: начало а...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующий результатов:
― обоснованное решение в п. а;
― пример в п. б;
― искомая оценка в п. в;
― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующий результатов:
― обоснованное решение в п. а;
― пример в п. б;
― искомая оценка в п. в;
― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...