Записав число $\overlineabc$ в виде $100a + 10b + c$ и остальные пять чисел аналогично, вычислим предварительно:

$f ( a,b,c ) =$
$=100a + 10b + c + 100a + 10c + b + 100b + 10a + c + 100b + 10c + a + 100c + 10a + b + 100c + 10b + a=$
$=222 ( a + b + c )$

а)  Равенство $222 ( a + b + c ) =1754$ невозможно, поскольку 1754 не кратно 3, а 222 кратно 3.
б)  Заметим, что минимальное значение $a + b + c$ это $1 + 1 + 1=3$ а максимальное $9 + 9 + 9=27$ Все промежуточные значения тоже возможны: если сначала увеличивать самое большое число ( $1 + 1 + 2,1 + 1 + 3,\ldots,1 + 1 + 9 )$ затем следующее и наконец самое маленькое, получим все промежуточные суммы. Количество чисел от 3 до 27 = 25: $27 - 3 + 1=25$
в)  Запишем условие в виде

$\frac{222 ( a + b + c )}{6} =100a + 10b + c = сильно 37 ( a + b + c ) =100a + 10b + c = сильно$
$ = сильно 36 ( a + b + c ) =99a + 9b = сильно 4 ( a + b + c ) =11a + b = сильно 4a + 4b + 4c=11a + b = сильно 3b + 4c=7a$ $ = сильно 36 ( a + b + c ) =99a + 9b = сильно 4 ( a + b + c ) =11a + b = сильно$
$ = сильно 4a + 4b + 4c=11a + b = сильно 3b + 4c=7a$ $ = сильно 36 ( a + b + c ) =99a + 9b = сильно$
$ = сильно 4 ( a + b + c ) =11a + b = сильно$
$ = сильно 4a + 4b + 4c=11a + b = сильно 3b + 4c=7a$

Будем перебирать возможные значения a.
При a  =  1 получим b  =  c  =  1.
При a  =  2 получим b  =  c  =  2.
При a  =  3 получим b  =  c  =  3.
При a  =  4 получим b  =  c  =  4 или b  =  8 c  =  1.
При a  =  5 получим b  =  c  =  4 или b  =  1 c  =  8 или b  =  9 c  =  2.
При a  =  6 получим b  =  c  =  6 или b  =  2 c  =  9.
При a  =  7 получим b  =  c  =  7.
При a  =  8 получим b  =  c  =  8.
При a  =  9 получим b  =  c  =  9.
Всего 13 возможных вариантов.

Ответ: а)  нет; б)  25; в)  13.