Заметим, что все делители числа разбиваются на пары, дающие в произведении само число (если оно является квадратом, среди его делителей есть число, парное само к себе). Перемножая два таких произведения, получим произведение всех пар вида «делитель  — число, дающее в произведении с ним исходное число». Пусть d  — количество делителей, тогда $a_n ^2 =n в степени d$
а)  Находим:

$n в степени ( 2d ) =1 000 000=1000 ^2 =100 ^3 =10 в степени 6$

Других представлений в виде четной степени натурального числа оно не имеет, но при этом у 1 000 000 не один делитель, у 1000 не 2 делителя, у 100 не 3, а у 10 не 6. Требуемое невозможно.
б)  Заметим, что $21 952=2 в степени 6 \cdot 7 ^3$ откуда

$n в степени ( 2d ) =2 в степени ( 12 ) \cdot 7 в степени 6 = ( 2 ^2 \cdot 7 ) в степени 6 = ( 2 в степени ( 4 ) \cdot 7 ^2 ) ^3 = ( 2 в степени 6 \cdot 7 ^3 ) ^2$

Число $2 ^2 \cdot 7=28$ действительно имеет 6 делителей (1, 2, 4, 7, 14, 28), а число $2 в степени 6 \cdot 7 ^3$ имеет больше двух делителей, как и число $2 в степени ( 4 ) \cdot 7 ^2$   — больше трех.
в)  Ясно, что $n=1$ подходит. Пусть $n больше 1$ тогда $a_n ^2 =n в степени 4$ значит, у таких чисел должно быть ровно 4 делителя, то есть кроме пары 1, n должна быть еще ровно одна пара делителей. Пусть p  — простой делитель n. Если $\frac{n}{p}$ имеет еще какой-⁠то простой делитель, кроме себя и p, то получим уже больше двух делителей. Если это степень p, то обязательно вторая, поскольку при $\frac{n}{p} =p$ получаем $n=p ^2$ с тремя делителями, при $\frac{n}{p} больше p ^2$ есть делители p, p2, $\frac{n}{p}$   — уже три. Тогда n  =  p3. Если же оно само простое, то n  =  pq  — произведение двух простых чисел.

Ответ: а)  нет; б)  28; в)  n  =  1, n  =  p3, n  =  pq для любых простых чисел $p не = q$