а)  Да. Пусть Коля записал уравнение $x ^2 - 4x + 3 = 0$ а Петя  — уравнение $x ^2 - 12x + 35 = 0$ Тогда Машино уравнение будет $2x ^2 - 16x + 38 = 0$ его дискриминант равен

$16 ^2 - 4 \cdot 2 \cdot 38=16 ( 16 - 19 ) меньше 0$
При этом Колино уравнение имеет корни 1 и 3, а Петино  — корни 5 и 7.
б)  Нет. Заметим, что сумма корней Машиного уравнения по теореме Виета равна

$ - $\frac{b + d}{2}$ = - \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{2}$

и это целое число (в числителе два четных и два нечетных слагаемых). Кроме того, произведение корней =

$\frac{c + e}{2} = $\frac{x_1x_2 + x_3x_4}{2}$ больше 0$

поэтому второй корень не только целый, но и натуральный.
в)  Обозначим корни Колиного уравнения за $ - $\frac{b}{2}$ \pm t$ Петиного за $ - $\frac{b}{2}$ \pm y$ и Машиного, деленного на 2, за $ - $\frac{b}{2}$ + z$ Для уравнения $x ^2 + bx + $\frac{e + c}{2}$ =0$ по теореме Виета получим:

$\frac{b ^2}{4} - t ^2 = c$
$\frac{b ^2}{4} - y ^2 = e$
$\frac{b ^2}{4} - z ^2 = \frac{e + c}{2}$

Отсюда следует, что

$\frac{b ^2}{4} - t ^2 + $\frac{b ^2}{4}$ - y ^2 = 2 ( $\frac{b ^2}{4}$ - z ^2 ) = сильно t ^2 + y ^2 = 2z ^2$

При этом разности между корнями Колиного и Петиного уравнения равны 2t и 2y, причем $2x больше 2y$ Требуется найти наименьшее значение t. Заметим, что $7 ^2 + 1 ^2 = 2 \cdot 5 ^2$ Перебирая числа, меньшие 7, выясняем, что для них решений у этого уравнения нет. Значит, $t больше или = 7$ Для уравнений $x ^2 - 20x + 51$ и $x ^2 - 20x + 99$ Машино уравнение примет вид $2x ^2 - 40x + 150$ и имеет корни 5 и 15, а сами они имеют корни (3; 17) и (9; 11). Значит, значение 2t  =  14 действительно достигается.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  14.