Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому

$9k - 18l + 0 \cdot m= - 5 ( k + l + m )$

а)  Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 9, поэтому $k + l + m$   — количество целых чисел  — делится на 9. По условию $27 меньше k + l + m меньше 45$ поэтому

$k + l + m=36$

Таким образом, написано 36 чисел.

б)  Приведём равенство $9k - 18l= - 5 ( k + l + m )$ к виду

$13l=14k + 5m$

Так как $m больше или = 0$ получаем, что $13l больше или = 14k$ откуда $l больше k$ Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

в)  (оценка) Подставим $k + l + m=36$ в правую часть равенства

$9k - 18l= - 5 ( k + l + m ) :9k - 18l= - 180$

откуда

$k=2l - 20$

Поскольку $k + l меньше или = 36$ получаем:

$3l - 20 меньше или = 36$ $3l меньше или = 56$ $l меньше или = 18$ $k=2l - 20 меньше или = 16$

то есть положительных чисел не более 16.

в)  (пример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 16. Пусть на доске 16 раз написано число 9, 18 раз написано число −18 и два раза написан 0.
Тогда

$\frac{9 \cdot 16 - 18 \cdot 18}{36} = $\frac{144 - 324}{36}$ = - 5$

Указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: а)  36; б)  отрицательных; в)  16.