а)  Для выполнения условий задачи достаточно, чтобы произведение двух меньших чисел было больше 40, а произведение двух больших чисел было меньше 100. Пять чисел 6, 7, 8, 9, 10 удовлетворяют условию задачи.
б)  Пусть числа на доске записаны в порядке возрастания: a b c d e f. Заметим, что $b больше или = 7$ $e меньше или = 9$ иначе произведение ab будет меньше 40, а произведение ef будет больше 100. Другими словами, на доске может быть только одно число a  f  >  9. Но тогда четырьмя различными числами b, c, d, e должны быть три числа 7, 8 и 9, что невозможно.
в)  Пусть на доске написаны числа a, b, c и d, причём a b c d. Как было показано в предыдущем пункте, соседние с крайними числа подчиняются условию $7 меньше или = b меньше c меньше или = 9$ Сумма четырех чисел наибольшая, когда каждое слагаемое принимает наибольшее возможное значение. Наибольшее возможное произведение $cd = 9 \cdot 11= 99$ поэтому $c=9$ $d=11$ Тогда $b=8$ $a=7$ наибольшее значение суммы четырех чисел =  35.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  35.

Примечание.
В пункте в) можно было провести перебор.
Если записаны числа а, 7, 8, d, то наибольшие возможные числа a  =  6, d  =  12. Сумма четырех записанных чисел равна 33.
Если записаны числа а, 7, 9, d, то a  =  6, d  =  11, сумма 33.
Если записаны числа а, 8, 9, d, то a  =  7, d  =  11, сумма 35.
Таким образом, наибольшее значение суммы четырех чисел = 35.