Присвоим каждой карточке номер от 1 до 10. Пусть a1, a2, ..., a10  — числа, данные в условии и записанные на карточках вначале (число ak записано на карточке с номером k).
Аналогично, b1, b2, ..., b10  — числа того же набора, но записанные на карточках после их перемешивания. Согласно условию рассматривается число:

$c = ( a_1 + b_1 ) ( a_2 + b_2 ) ... ( a_10 + b_10 )$

а)  Предположим, что c  =  0. Тогда в произведении найдётся нулевой множитель, то есть $a_k + b_k = 0$ для некоторого k. Но это невозможно, поскольку в данном наборе ни для какого числа ak нет ему противоположного по знаку. Значит, 0 получиться не может.
б)  Предположим, что c нечётно. Тогда в произведении каждый множитель должен быть нечётным, то есть $a_k + b_k$ нечётно для любого $k ( 1 меньше или = k меньше или = 10 )$
Следовательно, для каждого k в паре (ak, bk) одно число чётное, а другое нечётное. Поэтому в последовательности (a1, ..., a10, b1 ..., b10) окажется 10 чётных и 10 нечётных чисел. Однако из условия вытекает, что указанная последовательность содержит 8 чётных чисел и 12 нечётных.
Возникшее противоречие показывает, что c обязано быть чётным. В частности, 1 получиться не может.
в)  Далее считаем, что c > 0. Предположим, что c  =  2. Тогда в произведении ровно один из множителей по модулю равен 2, а все остальные по модулю равны 1. Иными словами, $a_m + b_m = \pm2$ для некоторого m и $a_k + b_k = \pm1$ для всех остальных k.
Числа am и bm оба чётные или оба нечётные. В каждой из остальных девяти пар (ak, bk) одно число чётное, а другое нечётное. Стало быть, в последовательности (a1, ..., a10, b1 ..., b10) окажется или 11 чётных и 9 нечётных чисел (если am и bm чётны), или, наоборот, 9 чётных и 11 нечётных чисел (если am и bm нечётны). Но, как было указано выше, чётных и нечётных чисел в этой последовательности имеется 8 и 12 соответственно.
Значит, случай c  =  2 невозможен. Поскольку c чётно, имеем оценку: $c\geqslant4$
Приведём пример, в котором достигается равенство c  =  4. Пусть сначала на карточках написаны числа в исходном порядке:

$1, - 2, - 3,4, - 5,7, - 8,9,10, - 11$

Затем на тех же карточках оказались числа:

$ - 2,1,4, - 3,7, - 5,9, - 8, - 11,10$

Получаем:

$c = ( 1 - 2 ) ( - 2 + 1 ) ( - 3 + 4 ) ( 4 - 3 ) ( - 5 + 7 ) ( 7 - 5 ) ( - 8 + 9 ) ( 9 - 8 ) ( 10 - 11 ) ( - 11 + 10 ) = 4$ $c = ( 1 - 2 ) ( - 2 + 1 ) ( - 3 + 4 ) ( 4 - 3 ) ( - 5 + 7 ) ( 7 - 5 ) ( - 8 + 9 ) ( 9 - 8 ) ( 10 - 11 ) ( - 11 + 10 ) =$
$= 4$ $c =$
$= ( 1 - 2 ) ( - 2 + 1 ) ( - 3 + 4 ) ( 4 - 3 ) ( - 5 + 7 ) ( 7 - 5 ) ( - 8 + 9 ) ( 9 - 8 ) ( 10 - 11 ) ( - 11 + 10 ) =$
$= 4$

Следовательно, наименьшее неотрицательное значение c =  4.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  4.