На доске написаны числа 7 и 8. За один ход разрешено заменить написанную на доске пару чисел a и b парой 2a – 1 и a + b (например, из пары 7 и 8 за один ход можно получить либо числа 13 и 15, либо числа 15 и 15).
а) Может ли случиться так, что после нескольких ходов одно из написанных на доске чисел будет = 99?
б) Может ли случиться так, что после 22 ходов одно из написанных на доске чисел будет = 8 787 878?
в) После 1001 хода на доске получили пару чисел, не равных друг другу. Какое наименьшее значение может иметь разность между большим и меньшим из этих чисел.
а) Может ли случиться так, что после нескольких ходов одно из написанных на доске чисел будет = 99?
б) Может ли случиться так, что после 22 ходов одно из написанных на доске чисел будет = 8 787 878?
в) После 1001 хода на доске получили пару чисел, не равных друг другу. Какое наименьшее значение может иметь разность между большим и меньшим из этих чисел.
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) На первом шаге можно получить пары (13, 15) или (15, 15). На втором шаге — пары (25, 28), (28, 29), (29, 30). На третьем — пары (49, 53), (53 ,55), (55, 57), (57, 57), (57, 59), (59, 59). Все пары, кроме первой, дадут на четвертом и последующих шагах два числа, больших 99. Первая может дать (97, 102), но на следующем ходе числа станут больше 99. Значит, получить 99 нельзя.
б) Нет. Заметим, что если $a меньше b$ то
$2 a - 1 меньше a + b меньше или = b - 1 + b = 2 b - 1$
а если a = b, то
$2 a - 1 = 2 b - 1 меньше 2 a = a + b$
Значит, меньшее из двух чисел растет как минимум так: удваивается, и из результата вычитается 1. Поэтому минимальное число после 22 хода может быть не меньше чем
$( \ldots ( ( 7 \cdot 2 - 1 ) \cdot 2 - 1 ) \ldots ) \cdot 2 - 1 = 7 \cdot 2 в степени ( 22 ) - 2 в степени ( 21 ) - 2 в степени ( 20 ) - \ldots - 1 = 7 \cdot 2 в степени ( 22 ) - ( 2 в степени ( 22 ) - 1 ) =$
$= 6 \cdot 2 в степени ( 22 ) + 1 больше 6 \cdot 4 \cdot ( 2 в степени ( 10 ) ) ^2 больше 6 \cdot 4 \cdot 1000 ^2 = 24 000 000 больше 8 787 878$ $( \ldots ( ( 7 \cdot 2 - 1 ) \cdot 2 - 1 ) \ldots ) \cdot 2 - 1 =$
$= 7 \cdot 2 в степени ( 22 ) - 2 в степени ( 21 ) - 2 в степени ( 20 ) - \ldots - 1 = 7 \cdot 2 в степени ( 22 ) - ( 2 в степени ( 22 ) - 1 ) =$
$= 6 \cdot 2 в степени ( 22 ) + 1 больше 6 \cdot 4 \cdot ( 2 в степени ( 10 ) ) ^2 больше 6 \cdot 4 \cdot 1000 ^2 = 24 000 000 больше 8 787 878$ $( \ldots ( ( 7 \cdot 2 - 1 ) \cdot 2 - 1 ) \ldots ) \cdot 2 - 1 = 7 \cdot 2 в степени ( 22 ) - 2 в степени ( 21 ) - 2 в степени ( 20 ) - \ldots - 1 =$
$= 7 \cdot 2 в степени ( 22 ) - ( 2 в степени ( 22 ) - 1 ) = 6 \cdot 2 в степени ( 22 ) + 1 больше 6 \cdot 4 \cdot ( 2 в степени ( 10 ) ) ^2 больше 6 \cdot 4 \cdot 1000 ^2 =$
$= 24 000 000 больше 8 787 878$ $( \ldots ( ( 7 \cdot 2 - 1 ) \cdot 2 - 1 ) \ldots ) \cdot 2 - 1 =$
$= 7 \cdot 2 в степени ( 22 ) - 2 в степени ( 21 ) - 2 в степени ( 20 ) - \ldots - 1 = 7 \cdot 2 в степени ( 22 ) - ( 2 в степени ( 22 ) - 1 ) =$
$= 6 \cdot 2 в степени ( 22 ) + 1 больше 6 \cdot 4 \cdot ( 2 в степени ( 10 ) ) ^2 больше 6 \cdot 4 \cdot 1000 ^2 =$
$= 24 000 000 больше 8 787 878$
поэтому числа после 22 ходов станут больше 8 787 878.
в) Заметим, что выражения
$\abs2a - 1 - ( a + b ) =\absa - b - 1$
$\abs2b - 1 - ( a + b ) = \absb - a - 1 = \absa - b + 1$
отличаются от $\absa - b$ ровно на 1, причем в любую сторону, в которую нам захочется. То есть с каждой операцией разность между числами изменяется на 1. За 1001 действие она станет четной, но не нулем, значит, как минимум 2. Этого добиться можно, увеличив ее на 1 501 раз, а потом уменьшив на 1 500 раз.
Ответ: а) нет; б) нет в) 2.
б) Нет. Заметим, что если $a меньше b$ то
$2 a - 1 меньше a + b меньше или = b - 1 + b = 2 b - 1$
а если a = b, то
$2 a - 1 = 2 b - 1 меньше 2 a = a + b$
Значит, меньшее из двух чисел растет как минимум так: удваивается, и из результата вычитается 1. Поэтому минимальное число после 22 хода может быть не меньше чем
$( \ldots ( ( 7 \cdot 2 - 1 ) \cdot 2 - 1 ) \ldots ) \cdot 2 - 1 = 7 \cdot 2 в степени ( 22 ) - 2 в степени ( 21 ) - 2 в степени ( 20 ) - \ldots - 1 = 7 \cdot 2 в степени ( 22 ) - ( 2 в степени ( 22 ) - 1 ) =$
$= 6 \cdot 2 в степени ( 22 ) + 1 больше 6 \cdot 4 \cdot ( 2 в степени ( 10 ) ) ^2 больше 6 \cdot 4 \cdot 1000 ^2 = 24 000 000 больше 8 787 878$ $( \ldots ( ( 7 \cdot 2 - 1 ) \cdot 2 - 1 ) \ldots ) \cdot 2 - 1 =$
$= 7 \cdot 2 в степени ( 22 ) - 2 в степени ( 21 ) - 2 в степени ( 20 ) - \ldots - 1 = 7 \cdot 2 в степени ( 22 ) - ( 2 в степени ( 22 ) - 1 ) =$
$= 6 \cdot 2 в степени ( 22 ) + 1 больше 6 \cdot 4 \cdot ( 2 в степени ( 10 ) ) ^2 больше 6 \cdot 4 \cdot 1000 ^2 = 24 000 000 больше 8 787 878$ $( \ldots ( ( 7 \cdot 2 - 1 ) \cdot 2 - 1 ) \ldots ) \cdot 2 - 1 = 7 \cdot 2 в степени ( 22 ) - 2 в степени ( 21 ) - 2 в степени ( 20 ) - \ldots - 1 =$
$= 7 \cdot 2 в степени ( 22 ) - ( 2 в степени ( 22 ) - 1 ) = 6 \cdot 2 в степени ( 22 ) + 1 больше 6 \cdot 4 \cdot ( 2 в степени ( 10 ) ) ^2 больше 6 \cdot 4 \cdot 1000 ^2 =$
$= 24 000 000 больше 8 787 878$ $( \ldots ( ( 7 \cdot 2 - 1 ) \cdot 2 - 1 ) \ldots ) \cdot 2 - 1 =$
$= 7 \cdot 2 в степени ( 22 ) - 2 в степени ( 21 ) - 2 в степени ( 20 ) - \ldots - 1 = 7 \cdot 2 в степени ( 22 ) - ( 2 в степени ( 22 ) - 1 ) =$
$= 6 \cdot 2 в степени ( 22 ) + 1 больше 6 \cdot 4 \cdot ( 2 в степени ( 10 ) ) ^2 больше 6 \cdot 4 \cdot 1000 ^2 =$
$= 24 000 000 больше 8 787 878$
поэтому числа после 22 ходов станут больше 8 787 878.
в) Заметим, что выражения
$\abs2a - 1 - ( a + b ) =\absa - b - 1$
$\abs2b - 1 - ( a + b ) = \absb - a - 1 = \absa - b + 1$
отличаются от $\absa - b$ ровно на 1, причем в любую сторону, в которую нам захочется. То есть с каждой операцией разность между числами изменяется на 1. За 1001 действие она станет четной, но не нулем, значит, как минимум 2. Этого добиться можно, увеличив ее на 1 501 раз, а потом уменьшив на 1 500 раз.
Ответ: а) нет; б) нет в) 2.
Правильный ответ:
а) нет; б) нет в) 2
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 66231 • Задание №8
а) Решите уравнение $\log _3 левая круглая скобка 2 синус в квадрате x правая круглая скобка минус 1=2\log _3...
ID 71865 • Задание №19
Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 2800, и
а) пять;
б) че...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...