На доске написано n единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: $1 + 1 + 111 + 11 + 11 + 1=136$
a) Можно ли получить сумму 122, если n = 59?
б) Можно ли получить сумму 123, если n = 59?
в) Какую наибольшую четырёхзначную сумму можно получить, если n = 59?
a) Можно ли получить сумму 122, если n = 59?
б) Можно ли получить сумму 123, если n = 59?
в) Какую наибольшую четырёхзначную сумму можно получить, если n = 59?
💡 Пошаговый разбор и решение:
a) Пусть + ы расставлены так, что суммируется семь чисел 11 и 45 единиц. Тогда сумма равна $7 \cdot 11 + 45 \cdot 1=122$
б) Пусть в полученной сумме в разряде единиц в слагаемых стоит a1 единиц, в разряде десятков — a2 единиц, в разряде сотен — a3 единиц и так далее. Тогда полученная сумма равна
$a_1 + 10 a_2 + 100 a_3 + \ldots=3 ( 3a_2 + 33a_3 + \ldots ) + ( a_1 + a_2 + a_3 + \ldots ) =3A + 59$ $a_1 + 10 a_2 + 100 a_3 + \ldots=$
$=3 ( 3a_2 + 33a_3 + \ldots ) + ( a_1 + a_2 + a_3 + \ldots ) =3A + 59$ $a_1 + 10 a_2 + 100 a_3 + \ldots=$
$=3 ( 3a_2 + 33a_3 + \ldots ) + ( a_1 + a_2 + a_3 + \ldots ) =$
$=3A + 59$
Таким образом, полученная сумма не делится на 3, а 123 делится на 3. Значит, невозможно получить сумму 123 при n = 59.
в) Если среди слагаемых в сумме присутствуют числа, бо́льшие 1111, то сумма будет больше 10000. Значит, каждое из слагаемых = 1, 11, 111 или 1111. Пусть таких слагаемых a, b, c и d соответственно. Тогда $n = a + 2b + 3c + 4d=59$ а сумма равна $a + 11b + 111c + 1111d$
При $d больше или = 9$ сумма больше 10000. Найдём наибольшую возможную сумму при $d меньше или = 8$ Заметим, что при замене четвёрки чисел $( a; b; c; d )$ на четвёрку $( a - 2; b + 1; c; d )$ $( a + 1; b - 2; c + 1; d )$ или $( a; b + 1; c - 2; d + 1 )$ количество единиц останется неизменным, а сумма увеличится. Значит, если бы наибольшая сумма достигалась при $d меньше или = 7$ то выполнялись бы неравенства $0 меньше или = a меньше или = 1$ $0 меньше или = b меньше или = 1$ $0 меньше или = c меньше или = 1$ Следовательно, $n=a + 2b + 3c + 4d меньше или = 34$ что противоречит условию.
Таким образом, наибольшая сумма достигается при d = 8. При этом $0 меньше или = a меньше или = 1$ и $0 меньше или = b меньше или = 1$ Поскольку
$c= $\frac{59 - 4d - 2b - a}{3}$ = \frac{27 - 2b - a}{3}$
получаем $8 меньше или = c меньше или = 9$ то есть либо c = 8, откуда $a + 2b = 3$ и $a = b = 1$ либо c = 9, откуда $a + 2b = 0$ и $a = b = 0$ В первом случае $a + 11b + 111c = 900$ а во втором $a + 11b + 111c = 999$ Следовательно, наибольшая сумма достигается при $a = b = 0$ c = 9 и d = 8 и равна $0 + 0 \cdot 11 + 9 \cdot 111 + 8 \cdot 1111 = 9887$
Ответ: а) да; б) нет; в) 9887.
б) Пусть в полученной сумме в разряде единиц в слагаемых стоит a1 единиц, в разряде десятков — a2 единиц, в разряде сотен — a3 единиц и так далее. Тогда полученная сумма равна
$a_1 + 10 a_2 + 100 a_3 + \ldots=3 ( 3a_2 + 33a_3 + \ldots ) + ( a_1 + a_2 + a_3 + \ldots ) =3A + 59$ $a_1 + 10 a_2 + 100 a_3 + \ldots=$
$=3 ( 3a_2 + 33a_3 + \ldots ) + ( a_1 + a_2 + a_3 + \ldots ) =3A + 59$ $a_1 + 10 a_2 + 100 a_3 + \ldots=$
$=3 ( 3a_2 + 33a_3 + \ldots ) + ( a_1 + a_2 + a_3 + \ldots ) =$
$=3A + 59$
Таким образом, полученная сумма не делится на 3, а 123 делится на 3. Значит, невозможно получить сумму 123 при n = 59.
в) Если среди слагаемых в сумме присутствуют числа, бо́льшие 1111, то сумма будет больше 10000. Значит, каждое из слагаемых = 1, 11, 111 или 1111. Пусть таких слагаемых a, b, c и d соответственно. Тогда $n = a + 2b + 3c + 4d=59$ а сумма равна $a + 11b + 111c + 1111d$
При $d больше или = 9$ сумма больше 10000. Найдём наибольшую возможную сумму при $d меньше или = 8$ Заметим, что при замене четвёрки чисел $( a; b; c; d )$ на четвёрку $( a - 2; b + 1; c; d )$ $( a + 1; b - 2; c + 1; d )$ или $( a; b + 1; c - 2; d + 1 )$ количество единиц останется неизменным, а сумма увеличится. Значит, если бы наибольшая сумма достигалась при $d меньше или = 7$ то выполнялись бы неравенства $0 меньше или = a меньше или = 1$ $0 меньше или = b меньше или = 1$ $0 меньше или = c меньше или = 1$ Следовательно, $n=a + 2b + 3c + 4d меньше или = 34$ что противоречит условию.
Таким образом, наибольшая сумма достигается при d = 8. При этом $0 меньше или = a меньше или = 1$ и $0 меньше или = b меньше или = 1$ Поскольку
$c= $\frac{59 - 4d - 2b - a}{3}$ = \frac{27 - 2b - a}{3}$
получаем $8 меньше или = c меньше или = 9$ то есть либо c = 8, откуда $a + 2b = 3$ и $a = b = 1$ либо c = 9, откуда $a + 2b = 0$ и $a = b = 0$ В первом случае $a + 11b + 111c = 900$ а во втором $a + 11b + 111c = 999$ Следовательно, наибольшая сумма достигается при $a = b = 0$ c = 9 и d = 8 и равна $0 + 0 \cdot 11 + 9 \cdot 111 + 8 \cdot 1111 = 9887$
Ответ: а) да; б) нет; в) 9887.
Правильный ответ:
а) да; б) нет; в) 9887
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 71542 • Задание №19
Из пары натуральных чисел (a; b), где $a больше b$ за один ход получают пару (a + b; a – b).
а) Можно ли за н...
ID 64736 • Задание №3
[рис.] Найдите угол CAD2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. От...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...