Снеговик написал ряд натуральных чисел от 1 до 2025. Затем он зачеркнул каждое второе число, начиная слева, а последнее незачеркнутое число перенес в начало ряда. Затем повторил операцию: зачеркнул каждое второе число, начиная слева, а последнее незачеркнутое число перенес в начало ряда. И так далее до тех пор, пока не останется ровно два числа.
а) Может ли после очередной операции остаться 253 числа?
б) Может ли после очередной операции остаться 64 числа?
в) Чему равна сумма последних двух незачеркнутых чисел?
а) Может ли после очередной операции остаться 253 числа?
б) Может ли после очередной операции остаться 64 числа?
в) Чему равна сумма последних двух незачеркнутых чисел?
💡 Пошаговый разбор и решение:
а, б) Из 2025 чисел будут зачеркнуты 1012 и останется 1013. Затем будут зачеркнуты 506 и останется 507. Затем будут зачеркнуты 253 и останется 254. Затем будут зачеркнуты 127 и останется 127. Затем будут зачеркнуты 63 и останется 64. После этого количество чисел будет падать вдвое каждую операцию.
в) Заметим, что число, переставленное вперед после первой операции, станет вторым числом после второй операции и будет вычеркнуто на третьей. Аналогично число, переставленное вперед после второй операции, будет вычеркнуто на четвертой и так далее. Значит, после девятой операции (когда останется 4 числа), эти числа будут такими — переставленное после девятой, переставленное после восьмой, еще какие-то два числа. Следовательно, после десятой операции останутся переставленное после девятой и еще одно число. Их можно не переставлять, нас интересует только их сумма. Выясним, что это за числа.
После первой операции останутся только нечетные числа. Вычтем из каждого из них по 1 и поделим на 2 (от этого из суммы двух чисел вычтется 2, а потом она поделится на 2). Получатся числа $1012, 0, 1, 2, \ldots, 1011$ Можно заменить 1012 на 0, поскольку оно все = будет вычеркнуто. Тогда при второй операции получатся числа $1011, 0, 1, 3, \ldots, 1009$ Снова вычтем из каждого из них по 1 и поделим на 2, а первые два числа заменим на что угодно, поскольку они все = будут вычеркнуты. Получим $0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 504$ Продолжим делать аналогичные действия. Иногда (например, после третьей операции) будут получаться четные числа, тогда перед делением на 2 не нужно будет вычитать из них единицу.
Итак, третья операция:
$0, 0, 0, 1, 2,\ldots, 504 arrow 0, 0, 2, 4, \ldots, 504 arrow 504, 0, 0, 2, 4, \ldots, 502 arrow 0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 251$
Четвертая (без вычитания единицы):
$0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 251 arrow 0, 0, 2, 4, \ldots, 250 arrow 250, 0, 0, 2, 4, \ldots, 248 arrow 0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 124$
Пятая (без вычитания единицы):
$0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 124 arrow 0, 0, 2, 4, \ldots, 124 arrow 124, 0, 0, 2, 4, \ldots, 122 arrow 0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 61$
Шестая (без вычитания единицы):
$0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 61 arrow 0, 0, 2, 4, \ldots, 60 arrow 60, 0, 0, 2, 4, \ldots, 58 arrow 0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 29$
Седьмая (без вычитания единицы):
$0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 29 arrow 0, 0, 2, 4, \ldots, 28 arrow 28, 0, 0, 2, 4, \ldots, 26 arrow 0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 13$
Восьмая (без вычитания единицы):
$14, 0, 0, 1, 2, \ldots, 13 arrow 14, 0, 2, 4, \ldots, 12 arrow 12, 14, 0, 2, 4, \ldots, 10 arrow 6, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5$
Прекратим модифицировать числа. После девятой операции получим 4, 6, 0, 2, после десятой получим 0, 4. Итак, их сумма равна 4. Они были пять раз поделены на 2, значит, до этого сумма была равна 128. До этого $2 \cdot 128 + 2 = 258$ до этого $2 \cdot 258 + 2 = 518$ до этого $2 \cdot 518 + 2 = 1038$ Это и есть ответ.
Ответ: а) нет; б) да; в) 1038.
в) Заметим, что число, переставленное вперед после первой операции, станет вторым числом после второй операции и будет вычеркнуто на третьей. Аналогично число, переставленное вперед после второй операции, будет вычеркнуто на четвертой и так далее. Значит, после девятой операции (когда останется 4 числа), эти числа будут такими — переставленное после девятой, переставленное после восьмой, еще какие-то два числа. Следовательно, после десятой операции останутся переставленное после девятой и еще одно число. Их можно не переставлять, нас интересует только их сумма. Выясним, что это за числа.
После первой операции останутся только нечетные числа. Вычтем из каждого из них по 1 и поделим на 2 (от этого из суммы двух чисел вычтется 2, а потом она поделится на 2). Получатся числа $1012, 0, 1, 2, \ldots, 1011$ Можно заменить 1012 на 0, поскольку оно все = будет вычеркнуто. Тогда при второй операции получатся числа $1011, 0, 1, 3, \ldots, 1009$ Снова вычтем из каждого из них по 1 и поделим на 2, а первые два числа заменим на что угодно, поскольку они все = будут вычеркнуты. Получим $0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 504$ Продолжим делать аналогичные действия. Иногда (например, после третьей операции) будут получаться четные числа, тогда перед делением на 2 не нужно будет вычитать из них единицу.
Итак, третья операция:
$0, 0, 0, 1, 2,\ldots, 504 arrow 0, 0, 2, 4, \ldots, 504 arrow 504, 0, 0, 2, 4, \ldots, 502 arrow 0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 251$
Четвертая (без вычитания единицы):
$0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 251 arrow 0, 0, 2, 4, \ldots, 250 arrow 250, 0, 0, 2, 4, \ldots, 248 arrow 0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 124$
Пятая (без вычитания единицы):
$0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 124 arrow 0, 0, 2, 4, \ldots, 124 arrow 124, 0, 0, 2, 4, \ldots, 122 arrow 0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 61$
Шестая (без вычитания единицы):
$0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 61 arrow 0, 0, 2, 4, \ldots, 60 arrow 60, 0, 0, 2, 4, \ldots, 58 arrow 0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 29$
Седьмая (без вычитания единицы):
$0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 29 arrow 0, 0, 2, 4, \ldots, 28 arrow 28, 0, 0, 2, 4, \ldots, 26 arrow 0, 0, 0, 1, 2, \ldots, 13$
Восьмая (без вычитания единицы):
$14, 0, 0, 1, 2, \ldots, 13 arrow 14, 0, 2, 4, \ldots, 12 arrow 12, 14, 0, 2, 4, \ldots, 10 arrow 6, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5$
Прекратим модифицировать числа. После девятой операции получим 4, 6, 0, 2, после десятой получим 0, 4. Итак, их сумма равна 4. Они были пять раз поделены на 2, значит, до этого сумма была равна 128. До этого $2 \cdot 128 + 2 = 258$ до этого $2 \cdot 258 + 2 = 518$ до этого $2 \cdot 518 + 2 = 1038$ Это и есть ответ.
Ответ: а) нет; б) да; в) 1038.
Правильный ответ:
а) нет; б) да; в) 1038
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 66790 • Задание №10
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 на боковом ребре BB1 взята точка M так, что BM : MB1 = 2 : ...
ID 70022 • Задание №17
Диагонали АС и ВD выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Р. Известно, что угол DAC равен 90°, а ...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...