Любые два написанных числа дают одинаковые остатки от деления на 4 или 7: если взять три или шесть других чисел и добавить к ним одно из этих двух, то в обоих случаях сумма будет кратна 4 или 7, значит, у заменяющих друг друга чисел одинаковые остатки. Следовательно, разность любых двух написанных чисел кратна 4 и 7, а потому и их наименьшему общему кратному  — числу 28. Значит, все числа дают одинаковые остатки от деления на 28. Напротив, если у всех чисел остатки одинаковы, то сумма четырех или семи из них будет кратна 4 или 7.
а)  Число 567 при делении на 28 дает остаток 7, а число 1414  — остаток 14, поэтому они не подходят.
б)  Заметим, что квадраты четных чисел кратны 4, а квадраты нечетных представимы в виде $( 4x \pm 1 ) ^2 = 16x ^2 \pm 8x + 1$ Следовательно, n2 не может при делении на 4 давать остаток 3, а именно такой остаток дает число 567.
в)  Нужно, чтобы $n ^2$ и n давали одинаковые остатки при делении на 28, то есть чтобы $n ^2 - n=n ( n - 1 )$ было кратно 28. Число 1 является наименьшим натуральным числом и удовлетворяет этому условию. В качестве остальных девяти чисел можно взять числа

1,
$29 = 28 \cdot 1 + 1$
$57 = 29 \cdot 2 + 1$
$85 = 29 \cdot 3 + 1$
$\ldots$

дающие при делении на 28 остаток 1.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  1.

Примечание.
Проверяющим ЕГЭ экспертам были присланы решения, подразумевающие, что число и его квадрат должны быть различными. В этом случае наименьшим искомым числом является 8. Приведем соответствующее рассуждение.

в)  Нужно, чтобы $n ^2$ и n давали одинаковые остатки при делении на 28, то есть чтобы $n ^2 - n=n ( n - 1 )$ было кратно 28. Один из множителей должен быть кратен 7. Число 1 не подходит, поскольку рано своему квадрату. При $n=7$ произведение =  42, оно не кратно 28. При $n=8$ произведение = 56, оно подходит. Значит, наименьшее подходящее n =  8. В качестве примера можно взять числа 8, 64 и любые другие 8 чисел, дающие при делении на 28 остаток 8.

Отметим также, что в Москве единицу в пункте в) эксперты засчитывали как верный ответ, а в Вологде неукоснительно следовали присланным решениям и не засчитывали. И на апелляции не засчитали. См. также обсуждение в комментариях ниже.