а)  Да, может. Числа 2, 3, 4, 5 составляют арифметическую прогрессию, их сумма равна 14.
б)  Пусть a  — первый член, d  — разность, n  — число членов прогрессии, тогда их сумма равна $\frac{2a + d ( n - 1 )}{2} n$ Чтобы количество членов было наибольшим, первый член и разность должны быть наименьшими. Пусть они равны 1, тогда по условию $\frac{n ( n + 1 )}{2} меньше 900$ Наибольшее натуральное решение этого неравенства n  =  41. Такой результат получается при прогрессии $1 + 2 + \ldots + 41=861$
в)  Для суммы членов арифметической прогрессии имеем:

$\frac{2a + d ( n - 1 )}{2} n = 123 = сильно ( 2a + d ( n - 1 ) ) n=2 \cdot 3 \cdot 41$

Таким образом, число членов прогрессии n является делителем числа 246. Если $n больше или = 41$ то левая часть больше 246: $( 2a + d ( n - 1 ) ) n больше или = 42 \cdot 41 больше 246$ следовательно, $n меньше 41$ Поскольку $n больше или = 3$ получаем, что $n=3$ или $n=6$ Прогрессии из трёх и шести членов с суммой 123 существуют: например, 40, 41, 42 и 3, 10, 17, 24, 31, 38.

Приведем другое решение.
а)   $2 + 3 + 4 + 5=14$
б)   $( 2a_1 + ( n - 1 ) d ) n меньше или = 1800.43 \cdot 42 = 1806, 42 \cdot 41 = 1722$ Поскольку $2a_1 + ( n - 1 ) d меньше или = 2 + ( n - 1 ) = n + 1$ число n не может быть = $42$ или быть больше. Число $n=41, a=1, d=1$ удовлетворяет условию.
в)   $( 2a_1 + ( n - 1 ) d ) n =246, 3 меньше или = n меньше или = 15, ( n больше или = 16 \Rightarrow 2a_1 + ( n - 1 ) d больше или = 17 )$   — не удовлетворяет. $16 \cdot 15=240$ $246=1 \cdot 246=2 \cdot 123=3 \cdot 82 = 6 \cdot 41$
$3 меньше или = n меньше или = 15$ поэтому имеем $n=3, 2a_1 + ( n - 1 ) d=82: 2a_1 + 2d=82, a_1 + d=41:41 - d,41, 41 + d$   — много есть таких прогрессий. Имеем $n=6,2a_1 + ( n - 1 ) d=41: 2a_1 + 2d=82, a_1 + 5d=41:$ $d=7, a_1=3: 3, 10, 17, 24, 31, 38$   — есть такая прогрессия.

Ответ: а)  да; б)  41; в)  3, 6.