а)  Закон можно угадать, заметив, например, что пока число однозначное, оно удваивается, а потом  — нет. А то, что 10 переходит в 2, наводит на мысль, что удваивается не само число, а сумма его цифр. Итак, искомый закон обнаружен: «Удвоенная сумма цифр».
б)  Легко заметить, что однозначных чисел, больших нуля, с требуемым свойством нет. Попробуем найти решение среди двузначных чисел. Если первая цифра двузначного числа равна a, а вторая равна b, то само число = 10a + b. Имеем 10a + b  =  2(a + b). Отсюда 8a  =  b, то есть a  =  1, b  =  8.
Можно показать, что других решений нет: самое маленькое трёхзначное число  — 100, а самая большая сумма трёх цифр 9 + 9 + 9  =  27, поэтому удвоенная сумма цифр всегда меньше самого числа. Так же с четырехзначными, пятизначными и так далее.
в)  Заметим, что если число не меньше, чем трёхзначное, то его сумма цифр меньше самого числа. Значит, число будет уменьшаться, пока не станет двузначным или однозначным. Остаётся единственная опасность: попасть в «неподвижную точку»  — 18. Но это в нашем случае невозможно, поскольку исходное число не делилось на 9, а при данном преобразовании числа, не кратные 9, не могут перейти в числа, кратные 9.

Ответ: а)  удвоенная сумма цифр; б)  18.

Приведем решение пункта в) Константина Житникова.
В пункте а) был найден закон преобразования чисел: «Следующее число является удвоенной суммой цифр предыдущего». Следовательно, число 21991 по этому закону будет преобразовано в число 2 · (2 + 1 + 9 + 9 + 1)  =  44, которое, в свою очередь, будет преобразовано в число 2 · (4 + 4)  =  16. Число  16 будет преобразовано в 2 · (1 + 6)  =  14, которое будет преобразовано в 2 · (1 + 4)  =  10, и наконец получим 2 · (1 + 0)  =  2.