Случай а). Пусть числа $\frac{b}{q ^2} , $\frac{b}{q}$ ,b,bq,bq ^2$ где по условию b  — натуральное число, $q больше 0,b\geqslant2,q не = 1$   — искомые члены прогрессии. Их произведение = $b в степени 5$ но уравнение $b в степени 5 =1512$ не имеет натуральных решений. Итак, необходимой прогрессии из 5 чисел не существует.
Случай б). Пусть прогрессия состоит из четырех членов $\frac{b}{q} ,b,bq,bq ^2$ а пятое натуральное число = $k$ Поскольку $1512=2 ^3 \cdot 3 ^3 \cdot 7 в степени 1$ имеем: $b в степени 4 q ^2 k=2 ^3 \cdot 3 ^3 \cdot 7 в степени 1$ что невозможно для натуральных $b в степени 4 , q ^2$ и k поскольку разложение числа 1512 не содержит четвертых степеней простых сомножителей отличных от 1. Заметим, однако, что знаменатель прогрессии q может не быть натуральным числом и исследуем этот случай. Пусть $q= \frac{m}{n}$   — несократимая дробь, $m,n принадлежит N$ Тогда $bq ^2 принадлежит N \Rightarrow b\vdotsn ^2 \Rightarrow b в степени 4 \vdotsn в степени 8 \Rightarrow b в степени 4 q ^2 k\vdots n в степени 6$ что невозможно, поскольку разложение числа 1512 не содержит шестых степеней простых сомножителей отличных от 1.
Случай в). Пусть прогрессия состоит из трех членов $\frac{b}{q} ,b,bq$ а четвертое и пятое натуральные числа равны k и $l$ Тогда $b ^3 kl=2 ^3 \cdot 3 ^3 \cdot 7 в степени 1$ Положим в этом равенстве $b=6,k=7,l=1$ Далее, полагая $q=2$ получим один из требуемых наборов чисел: 3, 6, 12, 7, 1.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  да.