а)  Например, 2, 4, 5, 5, 4.
б)  Нет. Заметим, что $a_k + 2 - a_k + 1=a_k + 1 - a_k - 1$ то есть разность между соседними членами последовательности уменьшается на 1. Поэтому последовательность с какого-то момента убывает, а до этого момента возможно возрастает (возрастающей части может и не быть, если разность сразу выбрать отрицательной). Очевидно, каждое число может не более одного раза встретиться на участке возрастания и на участке убывания.
в)  Заметим, что если ко всем членам последовательности прибавить одно и то же число, она по прежнему будет удовлетворять условию. Выберем максимальный ее член x и прибавим ко всем членам по $999 - x$ Теперь максимальный равен 999, а остальные остались трехзначными.
Изучим, сколько трехзначных чисел может содержать убывающая последовательность такого типа, начинающаяся с 999. Это будут числа

$999 - 1,999 - 1 - 2,\ldots, 999 - 1 - 2 - \ldots - n=999 - \frac{n ( n + 1 )}{2}$

Для того чтобы они были трехзначными, нужно, чтобы $n ( n + 1 ) меньше или = 2 \cdot 899$ $n меньше или = 41$ Итак, может быть не более 42 чисел. Аналогично возрастающая часть последовательности содержит не более 42 чисел и общий ответ  — 84.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  84.