а)  Например, 9, 18, 24, 28.
б)  Поскольку $a_k + 2=a_k + 1 + $\frac{2}{3}$ ( a_k + 1 - a_k )$ числа $a_k + 1$ и ak дают одинаковые остатки при делении на 3. Значит, все члены последовательности (кроме, может быть, последнего  — он не нужен для дальнейших вычислений) дают одинаковые остатки от деления на 3. Будем сразу считать, что если такое возможно, то an  — последний член последовательности (выкинем остальные). Тогда $a_n=3 ( a_2 - a_1 ) + a_1$ поэтому и оно дает тот же остаток при делении на 3.
Заметим, что если вычесть из всех членов последовательности одно и то же число, то соотношение $a_k + 2=a_k + 1 + $\frac{2}{3}$ ( a_k + 1 - a_k )$ эквивалентное соотношению из условия, останется верным и для новой последовательности, а соотношение $a_n=3a_2 - 2a_1$ будет выполнено, если было выполнено ранее. Вычтем тогда из всех членов последовательности $a_1$ Теперь мы можем считать, что $a_1=0$ а остальные члены последовательности  — натуральные числа. Значит, они все делятся на 3. Поделим. Опять же соотношение из условия будет выполнено и для новой последовательности, а соотношение $a_n=3a_2 - 2a_1$ будет выполнено, если было выполнено ранее. Значит, все ее члены опять делятся на 3. Поделим. Поскольку этот процесс можно продолжать бесконечно, все члены нашей последовательности делятся на любую степень тройки, что невозможно, для отличных от нуля чисел.
в)  Обозначим $b_k=a_k - a_k - 1$ Поскольку $a_k + 2 - a_k + 1= $\frac{2}{3}$ ( a_k + 1 - a_k )$ то $b_k + 2= $\frac{2}{3}$ b_k + 1$ Обозначая $a_1=a,b_2=b$ имеем $b_3= $\frac{2}{3}$ b,b_4= $\frac{4}{9}$ b,\ldots,b_k + 2= $\frac{2 в степени k}{3 в степени k}$ b$ Далее, $a_k + 2=b_k + 2 + b_k + 1 + \ldots + b_2 + a_1=a + b ( 1 + $\frac{2}{3}$ + \ldots + $\frac{2 в степени k}{3 в степени k}$ )$ поэтому b делится на $3 в степени k$ Теперь разберем несколько случаев.

1.   $k=1$ тогда $b=3x$ $a_3=a + 5x=667$ откуда $a больше или = 2$ При $a=2$ имеем $x=133,b=399$ и последовательность имеет вид 2, 401, 667. Осталось выяснить, может ли быть $a=1$
2.   $k=2$ тогда $b=9x$ $a_3=1 + 19x не = 667$
3.   $k=3$ тогда $b=27x$ $a_4=1 + 65x не = 667$
4.   $k=4$ тогда $b=81x$ $a_5=1 + 211x не = 667$
5.   $k=5$ тогда $b=243x$ $a_6=1 + 665x не = 667$
6.   $k больше 5$ тогда b кратно 729 и $a_n больше a_2=a + b больше 729 больше 667$

Ответ: а)  9, 18, 24, 28; б)  нет; в)  2.

Примечание.
Использованная при решении пункта б) идея носит название метода бесконечного спуска.