а)  Пусть на доске написаны числа 24, 54 и 204. Тогда их сумма равна 282.
б)  Каждое из написанных чисел оканчивается на 4, поэтому если их сумма оканчивается на 0, то их количество должно делиться на 5. Сумма пяти наименьших чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 4, равна 24 + 54 + 84 + 114 + 144  =  420. Значит, получить сумму 390 невозможно.
в)  Пусть на доске написано n чисел. Заметим, что любое число, которое оканчивается на 4, представимо в виде 5k + 4. Значит, сумма чисел, написанных на доске, равна 2226 = 5m + 4n. Следовательно, 4n даёт остаток 1 при делении на 5, откуда получаем, что n даёт остаток 4 при делении на 5.
Предположим, что $n\geqslant14$ Сумма четырнадцати наименьших чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 4, равна

$24 + 54 + 84 + \ldots + 384 + 414 = $\frac{14 \cdot ( 24 + 414 )}{2}$ = 3066 больше 2226$

Значит, n Ответ: а)  да; б)  нет; в)  9.

Приведем решение Евгения Обухова (Москва).
а)  Возрастающий ряд натуральных чисел, делящихся на 3 (сумма цифр числа делится на 3) и оканчивающихся на 4, начинается фрагментом: 24, 54, 84, 114, 144, ... . Легко подобрать пример: $282=114 + 144 + 24$
б)  Допустим, может. Это означает, что в сумме как минимум пять слагаемых (иначе сумма чисел, оканчивающихся на 4, не заканчивается 0). Следовательно, сумма не меньше, чем $24 + 54 + 84 + 114 + 144=420 больше 390$ Противоречие.
в)  Из пункта а) следует, что рассматриваемая последовательность чисел возрастает. Разность соседних чисел должна делиться и на 10, поскольку все числа оканчиваются на 4, и делиться на 3, поскольку все числа делятся на 3. Следовательно, эта разность равна 30. То есть на доске написаны числа вида $24 + k_i \cdot 30$ где ki  — целое неотрицательное число. Тогда сумма n чисел на доске равна

$24 \cdot n + 30 ( k_1 + \ldots + k_n ) =2226 ( * )$

Так как все числа на доске различны, то

$k_1 + \ldots + k_n больше или = 0 + 1 + \ldots + ( n - 1 ) = \frac{( n - 1 ) n}{2}$

Тогда

$2226 больше или = 24 \cdot n + $\frac{30n ( n - 1 )}{2}$ =n ( 15n + 9 )$

Из этого неравенства следует, что $n меньше или = 11$ Из (⁎) следует, что $2226 - 24 \cdot n$ делится на 10, следовательно, $n=11$ и $n=10$ заведомо не подходят. При $n=9$ из (⁎) получаем, что $k_1 + \ldots + k_9=67$ Построение примера завершает его предъявление:

$k_1=0, k_2=1, \ldots , k_8=7, k_9= 67 - ( 1 + \ldots + 7 ) =39$

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  9.

Приведем решение Владислава Франка (Санкт-⁠Петербург).
а)  Да. Например, 24 + 54 + 204.
б)  Нет. Если их последние цифры четверки, то нужно минимум 5 чисел, чтобы их сумма кончалась на 0, но даже сумма самых маленьких пяти таких чисел слишком велика: $24 + 54 + 84 + 114 + 144=420 больше 390$
в)  Разобьем числа на группы по пять. Тогда в каждой группе сумма кончается на 0. Значит, в последней группе (она могла бы быть неполной) должно быть 4 числа  — иначе последняя цифра суммы не сойдется. Итак, общее количество чисел может быть 4, 9, 14, 19, ... . Если взять 14 наименьших чисел, то их сумма будет равна $24 + 54 + \ldots + 414=3066 больше 2226$ Поэтому чисел не более девяти. Девять чисел взять можно, например, $24 + 54 + \ldots 234 + 1194 = 2226$

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  9.