Рассматриваются непостоянные бесконечные арифметические прогрессии a1, a2, ..., an, ..., состоящие из натуральных чисел. Пусть Sn — сумма первых n членов, S1 = a1.
а) Существует ли такая арифметическая прогрессия, что S6 = 1980?
б) Существует ли такая арифметическая прогрессия, что для некоторого натурального числа n имеют место равенства Sn = 350 и Sn + 2 = 625?
в) Сколько существует таких натуральных чисел n, для которых существует такая арифметическая прогрессия, что Sn = 625?
а) Существует ли такая арифметическая прогрессия, что S6 = 1980?
б) Существует ли такая арифметическая прогрессия, что для некоторого натурального числа n имеют место равенства Sn = 350 и Sn + 2 = 625?
в) Сколько существует таких натуральных чисел n, для которых существует такая арифметическая прогрессия, что Sn = 625?
💡 Пошаговый разбор и решение:
Обозначим первый член прогрессии a, разность d.
а) По формуле для суммы прогрессии получим:
$\frac{2a + 5d}{2} \cdot 6=1980 = сильно 2a + 5d=660$
Это возможно, например, при a = 300, d = 12.
б) По формуле для суммы прогрессии получим $\frac{2a + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n=350$ откуда $( 2a + ( n - 1 ) d ) n=700$ то есть число 700 делится на n. Аналогично получим:
$\frac{2a + ( n + 1 ) d}{2} \cdot ( n + 2 ) =625 = сильно ( 2a + ( n - 1 ) d ) ( n + 2 ) =1250$
то есть 1250 делится на n + 2. Выпишем все делители числа 700:
n = 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 25, 28, 35, 50, 70, 100, 140, 175, 350, 700.
Увеличим их на 2, получим
n = 3, 4, 6, 7, 9, 12, 16, 22, 27, 30, 37, 52, 72, 102, 142, 177, 352, 702.
Из них 1250 не делится ни на одно число, поэтому такое невозможно.
в) Рассмотрим уравнение $( 2a + ( n - 1 ) d ) n=1250$ Выпишем все делители числа $1250=2 \cdot 5 в степени 4$ :
n = 1, 2, 5, 10, 25, 50, 125, 250, 625, 1250.
Кроме того, при $n больше или = 50$ имеем
$( 2a + ( n - 1 ) d ) n больше или = ( 2 + 49 ) \cdot 50 больше 1250$
поэтому так много членов в прогрессии быть не может. Разберем остальные случаи и приведем примеры прогрессий там, где они есть:
n = 1: да, прогрессия 625;
n = 2: да, прогрессия 312, 313;
n = 5: да, прогрессия 123, 124, 125, 126, 127;
n = 10: да, прогрессия 58, 59, ..., 67;
n = 25: да, прогрессия 13, 14, ..., 37.
Ответ: а) да; б) нет; в) 1, 2, 5, 10, 25.
а) По формуле для суммы прогрессии получим:
$\frac{2a + 5d}{2} \cdot 6=1980 = сильно 2a + 5d=660$
Это возможно, например, при a = 300, d = 12.
б) По формуле для суммы прогрессии получим $\frac{2a + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n=350$ откуда $( 2a + ( n - 1 ) d ) n=700$ то есть число 700 делится на n. Аналогично получим:
$\frac{2a + ( n + 1 ) d}{2} \cdot ( n + 2 ) =625 = сильно ( 2a + ( n - 1 ) d ) ( n + 2 ) =1250$
то есть 1250 делится на n + 2. Выпишем все делители числа 700:
n = 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 25, 28, 35, 50, 70, 100, 140, 175, 350, 700.
Увеличим их на 2, получим
n = 3, 4, 6, 7, 9, 12, 16, 22, 27, 30, 37, 52, 72, 102, 142, 177, 352, 702.
Из них 1250 не делится ни на одно число, поэтому такое невозможно.
в) Рассмотрим уравнение $( 2a + ( n - 1 ) d ) n=1250$ Выпишем все делители числа $1250=2 \cdot 5 в степени 4$ :
n = 1, 2, 5, 10, 25, 50, 125, 250, 625, 1250.
Кроме того, при $n больше или = 50$ имеем
$( 2a + ( n - 1 ) d ) n больше или = ( 2 + 49 ) \cdot 50 больше 1250$
поэтому так много членов в прогрессии быть не может. Разберем остальные случаи и приведем примеры прогрессий там, где они есть:
n = 1: да, прогрессия 625;
n = 2: да, прогрессия 312, 313;
n = 5: да, прогрессия 123, 124, 125, 126, 127;
n = 10: да, прогрессия 58, 59, ..., 67;
n = 25: да, прогрессия 13, 14, ..., 37.
Ответ: а) да; б) нет; в) 1, 2, 5, 10, 25.
Правильный ответ:
а) да; б) нет; в) 1, 2, 5, 10, 25
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 66137 • Задание №8
а) Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 2 косинус конец аргумента в квадрате x минус корень из: нач...
ID 68266 • Задание №14
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
а) Докажите, что плоскости $A_1BD$ и $B_1CD_1$ параллельны.
б) Пусть дополн...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2
Верно получен один из следующий результатов:
― обоснованное решение в п. а;
― пример в п. б;
― искомая оценка в п. в;
― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2
Верно получен один из следующий результатов:
― обоснованное решение в п. а;
― пример в п. б;
― искомая оценка в п. в;
― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...