Пусть a юношей отправили по 4 письма и b юношей отправили по 21 письму. Тогда количество девушек $a + b$ количество отправленных писем $4a + 21b$
а)  Спрашивается, имеет ли уравнение $4a + 21b=7 ( a + b )$ решение. Запишем его в виде $3a=14b$ Ясно, что числа $a=14$ и $b=3$ являются одним из решений. То есть если 14 юношей отправили по 4 письма и трое юношей отправили по 21 письму, то всего они отправили 119 писем, которые можно распределить между 17 девушками так, чтобы каждая получила ровно 7 писем.
б)  Общее количество писем $4a + 21b$ должно делиться на количество девушек $a + b$ без остатка. Заметим, что тогда в силу тождества $17b= ( 4a + 21b ) - 4 ( a + b )$ число $17b$ также должно делиться на $a + b$ Если $a + b$ не делится на 17, то b делится на $a + b$ что противоречит условиям $a больше 1,b больше 1$ Значит, $a + b$ делится на 17. Наименьшее натуральное число, делящееся на 17,  — это 17. Пример того, что девушек может быть ровно 17, приведён в предыдущем пункте.
в)  Пусть a юношей отправили по 4 письма и $n - a$ юношей отправили по 21 письму. Тогда суммарно они отправили $4a + 21 ( n - a )$ писем, а число полученных девушками писем не меньше

$0 + 1 + ... + ( n - 2 ) + ( n - 1 ) = \frac{n ( n - 1 )}{2}$

Получаем

$4a + 21 ( n - a ) больше или = \frac{n ( n - 1 )}{2}$

откуда $21n больше $\frac{n ( n - 1 )}{2}$ = сильно n меньше 43$
При $n=42$ имеем $882 - 17a больше или = 861 = сильно 17a меньше или = 21$ что противоречит условию $a\geqslant2$
Если $n=41,a=2$ то суммарное количество отправленных писем = $2 \cdot 4 + 39 \cdot 21=827$ Эти письма можно распределить между девушками следующим образом: 40 девушек получили от 0 до 39 писем и ещё одна  — 47. Таким образом, наибольшее возможное количество девушек  — это 41.

Ответ: а)  да; б)  17; в)  41.