а)  Например, число 9.
б)  Предположим, что n  =  10k + 3. Тогда

$n ^2 + 2n =100k ^2 + 60k + 9 + 20k + 6 =10l + 15$

то есть десятичная запись числа n2 + 2n оканчивается цифрой 5. Значит, такое невозможно.
в)  Запишем условие задачи в таком виде: $n ^2 + 2n = n + N \cdot 10000$ преобразуем:

$n ^2 + n = N \cdot 10000$ то есть $n \cdot ( n + 1 ) = 2 в степени 4 \cdot 5 в степени 4 \cdot N$

Заметим, что n и n + 1 не могут одновременно делиться на 2 и не могут одновременно делиться на 5. Значит, один из множителей делится на 54 и один из множителей делится на 24. Эти два множителя могут совпадать только в том случае, если число n + 1 делится на 10000, а число n четырёхзначное, то есть n  =  9999.
Если n ≠ 9999, мы должны подобрать два числа, одно из которых делится на 16, а другое  — на 625 и одно из которых больше другого на 1.
Переберём нечётные четырёхзначные числа, кратные числу 625: 1875, 3125, 4375, 5625, 6875, 8125, 9375. Из них только число 9375 имеет вид 16k − 1, а чисел вида 16k + 1 среди них нет.
Значит, искомое число может равняться 9375 или 9999.

Ответ: а)  9; б)  нет; в)  9375; 9999.