а)  Да, например, если в первый день выписать девять раз число 20, а каждый следующий день при выписывании заменять очередное число 20 на четыре единицы.
б)  Ясно, что в первый день было выписано не менее 600 : 20  =  30 чисел. Через 154 дня будет выписано не менее 30 + 3 · 154  =  492 числа с суммой не более 600 − 154  =  446, что невозможно.
в)  Допустим, Оля выписывала какие-то числа в течение k дней. Заметим для начала, что если заменить изначальные числа на 15 экземпляров числа 20, то выписанные числа по-⁠прежнему будут удовлетворять условию (количество чисел в первый день мы разве что уменьшили). Выберем первый день  — если такой есть  — когда на следующий день количество чисел увеличилось более чем на три или сумма уменьшилась более чем на один. Очевидно, это можно исправить: удалим лишние числа и распределим их сумму (и недостающее до старой суммы, уменьшенной на 1) по другим слагаемым. Это возможно, ведь даже бОльшую сумму можно распределить по меньшему числу слагаемых, что было сделано в предыдущий день. При этом для всех следующих дней условия задачи будут по-прежнему выполнены, а общая сумма чисел не уменьшится. Итак, можно считать, что каждый день чисел пишут ровно на три больше, а их сумма становится на один меньше.
Значит, через k дней, то есть на k + 1-ый день, будет выписано 15 + 3k чисел с суммой 300 − k, откуда 15 + 3k k, 285 > 4k, k ≤ 71. C другой стороны, выписывать 18, 21, ..., 228 числа с суммами 299, 298, ..., 229 действительно можно. Например, возьмем данное количество единиц, потом некоторые из них по очереди увеличим до двоек, если этого не хватит  — увеличим двойки до троек и так далее. С каждым действием сумма увеличивается на 1 и в итоге могла бы достигнуть минимум 18 · 20  =  360 > 299, поэтому все промежуточные варианты тоже будут получены. В итого получим тогда $300 + 299 + \ldots + 229= $\frac{( 300 + 229 ) \cdot 72}{2}$ =19044$

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  19 044.