Лесная шахматная школа провела шахматный турнир. В нём принимали участие Волк, Лиса и Заяц. Каждый из них сыграл с каждым участником по 10 партий. За выигранную партию присуждалось 2 очка, за ничью 1 очко, за проигрыш 0 очков. После окончания турнира места распределялись по сумме очков, набранных участниками.
а) Сколько очков набрал Волк, если у него число выигранных в турнире партий равнялось числу проигранных?
б) У Лисы количество выигранных партий больше чем у Волка, а у Волка больше чем у Зайца. Может ли Заяц занять первое место, Волк — второе, а Лиса — третье?
в) Лиса заняла в турнире второе место, хотя при игре с каждым из соперников побеждала чаще, чем проигрывала. Тогда она потребовала изменить порядок подведения итогов: распределять места по разности количества выигранных и проигранных партий. Сможет ли она после этого занять первое место?
г) Может ли быть по итогам турнира у каждого участника количество выигранных партий больше, чем количество проигранных?
а) Сколько очков набрал Волк, если у него число выигранных в турнире партий равнялось числу проигранных?
б) У Лисы количество выигранных партий больше чем у Волка, а у Волка больше чем у Зайца. Может ли Заяц занять первое место, Волк — второе, а Лиса — третье?
в) Лиса заняла в турнире второе место, хотя при игре с каждым из соперников побеждала чаще, чем проигрывала. Тогда она потребовала изменить порядок подведения итогов: распределять места по разности количества выигранных и проигранных партий. Сможет ли она после этого занять первое место?
г) Может ли быть по итогам турнира у каждого участника количество выигранных партий больше, чем количество проигранных?
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Пусть волк выиграл x партий, проиграл тоже x, а остальные $2 \cdot 10 - x - x$ партий сыграл вничью. Тогда он набрал
$x \cdot 2 + x \cdot 0 + ( 20 - 2x ) \cdot 1 = 20$
очков.
б) Да, такое могло быть. Пусть лиса выиграла у волка 5 партий, волк у лисы — 4 партии, а заяц выиграл три партии у лисы. Остальные партии завершились вничью. Тогда лиса набрала $5 \cdot 2 + 1 + 7 = 18$ очков, волк — $4 \cdot 2 + 1 + 10 = 19$ очков, а заяц — $3 \cdot 2 + 17 = 23$ очка.
в) Пусть игрок выиграл x партий, проиграл y партий и $20 - x - y$ свел вничью. Тогда он получит
$2x + 20 - x - y = 20 + x - y$
очков. При втором же способе подсчета он получит $x - y$ очков. Таким образом, результаты по двум системам оценивания всегда отличаются на 20, и потому результаты всех игроков упорядочены одинаково по обеим системам.
г) Сумма числа выигрышей равна сумме числа проигрышей, потому что и то, и другое — количество партий, закончившихся не вничью. Значит, все слагаемые первой суммы не могут быть больше соответствующих им слагаемых второй.
Ответ: а) 20; б) да; в) нет; г) нет.
$x \cdot 2 + x \cdot 0 + ( 20 - 2x ) \cdot 1 = 20$
очков.
б) Да, такое могло быть. Пусть лиса выиграла у волка 5 партий, волк у лисы — 4 партии, а заяц выиграл три партии у лисы. Остальные партии завершились вничью. Тогда лиса набрала $5 \cdot 2 + 1 + 7 = 18$ очков, волк — $4 \cdot 2 + 1 + 10 = 19$ очков, а заяц — $3 \cdot 2 + 17 = 23$ очка.
в) Пусть игрок выиграл x партий, проиграл y партий и $20 - x - y$ свел вничью. Тогда он получит
$2x + 20 - x - y = 20 + x - y$
очков. При втором же способе подсчета он получит $x - y$ очков. Таким образом, результаты по двум системам оценивания всегда отличаются на 20, и потому результаты всех игроков упорядочены одинаково по обеим системам.
г) Сумма числа выигрышей равна сумме числа проигрышей, потому что и то, и другое — количество партий, закончившихся не вничью. Значит, все слагаемые первой суммы не могут быть больше соответствующих им слагаемых второй.
Ответ: а) 20; б) да; в) нет; г) нет.
Правильный ответ:
а) 20; б) да; в) нет; г) нет
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 68352 • Задание №14
Основанием прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Д...
ID 64995 • Задание №3
[рис.] Объем шара равен 288 $Пи$ Найдите площадь его поверхности, деленную на $Пи$...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...