Каждый из трёх бизнесменов имеет хотя бы одну акцию типа A и типа B. Общее количество акций обоих типов у каждого бизнесмена равны соответственно n, m и k. Стоимость акций типа A выше, чем стоимость акций типа B, а общая стоимость S (руб.) всех акций у каждого бизнесмена одинаковая.
а) Может ли быть, что n = 5, m = 21, k = 29?
б) Может ли быть, что n = 4, m = 21, k = 29?
в) Найдите стоимость акции каждого типа, если n = 11, m = 21, k = 29, S = 4402.
а) Может ли быть, что n = 5, m = 21, k = 29?
б) Может ли быть, что n = 4, m = 21, k = 29?
в) Найдите стоимость акции каждого типа, если n = 11, m = 21, k = 29, S = 4402.
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Пусть акция типа A стоит 9 рублей, а акция типа B — 1 рубль, и пусть у первого бизнесмена 4 акции типа A и 1 типа B, у второго — 2 типа A и 19 типа B, а у третьего — 1 типа A и 2 типа B. Тогда у каждого из них акций на 37 рублей.
б) У первого бизнесмена должны быть три акции типа A и одна типа B. В самом деле, у остальных не может быть даже 4 акций типа A, ведь иначе стоимость их активов будет больше. Значит, у них не менее 18 и 26 акций типа B соответственно. Значит, число акций типа A у каждого из них меньше, чем у предыдущего — если обоих типов акций было бы больше, то и стоимость активов была бы больше. Следовательно, у второго бизнесмена две акции типа A, а у третьего — одна. Тогда из сравнения первых двоих получаем, что акция типа A должна стоить как 17 акций типа B, а из сравнения последних двоих — как 9. Получено противоречие.
в) Ясно, что у первого не более 10 акций каждого типа. Значит, акций типа A у первого больше, чем у второго, поскольку иначе после выкидывания = го числа акций у первого останется несколько акций типа B, а у второго не меньше того же числа акций типа A и сколько-то акций типа B, и стоимость его активов будет больше. Аналогично у третьего их меньше, чем у второго. Будем заменять акции первого типа на акции второго, следя за общей ценой.
Пусть акция типа A стоит как x + 1 акция типа B (возможно, что x нецелое). При замене одной акции типа A на x + 1 акцию типа B количество акций растет на x. Так как у второго на 10 акций больше, чем у первого, то $\frac{10}{x}$ — целое число. Аналогично $\frac{8}{x}$ — целое, откуда и $\frac{2}{x}$ — целое. При этом $9 \cdot $\frac{2}{x}$ = $\frac{18}{x}$ меньше или = 9$ поскольку разница в числе акций типа A третьего и первого бизнесменов не может превышать 9. Поэтому $\frac{2}{x} = 1$ откуда $x = 2$ разница в количестве акций типа A у первого и третьего равна 9, цена акции типа A втрое больше цены акции типа B. У первого 10 акций типа A и 1 типа B, у второго — 5 типа A и 16 типа B, у третьего — 1 типа A и 28 типа B. Стоит любой такой набор как 31 акция типа B, откуда цена одной такой акции $\frac{4402}{31} = 142$ цена акции типа A равна $142 \cdot 3 = 426$
Ответ: а) да, б) нет, в) 426.
б) У первого бизнесмена должны быть три акции типа A и одна типа B. В самом деле, у остальных не может быть даже 4 акций типа A, ведь иначе стоимость их активов будет больше. Значит, у них не менее 18 и 26 акций типа B соответственно. Значит, число акций типа A у каждого из них меньше, чем у предыдущего — если обоих типов акций было бы больше, то и стоимость активов была бы больше. Следовательно, у второго бизнесмена две акции типа A, а у третьего — одна. Тогда из сравнения первых двоих получаем, что акция типа A должна стоить как 17 акций типа B, а из сравнения последних двоих — как 9. Получено противоречие.
в) Ясно, что у первого не более 10 акций каждого типа. Значит, акций типа A у первого больше, чем у второго, поскольку иначе после выкидывания = го числа акций у первого останется несколько акций типа B, а у второго не меньше того же числа акций типа A и сколько-то акций типа B, и стоимость его активов будет больше. Аналогично у третьего их меньше, чем у второго. Будем заменять акции первого типа на акции второго, следя за общей ценой.
Пусть акция типа A стоит как x + 1 акция типа B (возможно, что x нецелое). При замене одной акции типа A на x + 1 акцию типа B количество акций растет на x. Так как у второго на 10 акций больше, чем у первого, то $\frac{10}{x}$ — целое число. Аналогично $\frac{8}{x}$ — целое, откуда и $\frac{2}{x}$ — целое. При этом $9 \cdot $\frac{2}{x}$ = $\frac{18}{x}$ меньше или = 9$ поскольку разница в числе акций типа A третьего и первого бизнесменов не может превышать 9. Поэтому $\frac{2}{x} = 1$ откуда $x = 2$ разница в количестве акций типа A у первого и третьего равна 9, цена акции типа A втрое больше цены акции типа B. У первого 10 акций типа A и 1 типа B, у второго — 5 типа A и 16 типа B, у третьего — 1 типа A и 28 типа B. Стоит любой такой набор как 31 акция типа B, откуда цена одной такой акции $\frac{4402}{31} = 142$ цена акции типа A равна $142 \cdot 3 = 426$
Ответ: а) да, б) нет, в) 426.
Правильный ответ:
а) да, б) нет, в) 426
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 70345 • Задание №17
Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, касается боковых сторон AB и CD в точках M и N соответст...
ID 66037 • Задание №8
Дано уравнение $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате левая круглая скобка дробь: ...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...