1.  Сразу заметим, что уравнение имеет единственный корень $x=3 в степени k$ Следовательно, формула общего члена последовательности имеет вид $x_k=3 в степени k ,k принадлежит N$
Для ответа на первый вопрос заметим, что $3 в степени 7 =2187$ тогда число $3 в степени ( 15 ) =3 \cdot ( 3 в степени 7 ) ^2 больше 3 \cdot 4 \cdot 10 в степени 6$ содержит в десятичной записи более семи цифр. Легко убедитьcя, что условию задачи удовлетворяет число $3 в степени ( 14 ) =4782969$ то есть $k=14$
2.  Число будет содержать среди делителей ровно 8 членов данной последовательности в случае, если его делителями являются первые 8 членов последовательности, а девятый уже не является. Следовательно, искомое натуральное число должно делиться на $3 в степени 8 =6561$ Для того, чтобы оно было наименьшим, оно не должно иметь других делителей, то есть это число 6561.
3.  Нет. Предположим, что такой набор существует, то есть при некоторых значениях k и m имеет место равенство $3 в степени k + 3 в степени ( k + 1 ) + \cdot s + 3 в степени ( k + n - 1 ) =3 в степени m$
По формуле суммы геометрической прогрессии со знаменателем 3 свернем левую часть последнего равенства. Тогда получаем равенство $3 в степени k \cdot $\frac{3 в степени n - 1}{2}$ =3 в степени m$ или $3 в степени n - 1=2 \cdot 3 в степени ( m - k )$ Отсюда получаем равенство $3 в степени n - 2 \cdot 3 в степени ( m - k ) =1$ Последнее равенство возможно только при выполнении условий $n=1$ и $m=k$ (иначе правая часть равна 1, а левая делится на 3), что не удовлетворяет условию задачи.
4.  Да, существует. Этому условию удовлетворяет любой набор, содержащий N членов (в том числе и 2012 членов) последовательности, каждый из которых имеет вид $3 в степени ( 2k + 1 )$ Тогда любой набор содержит минимальное число, которое при суммировании можно вынести за скобки и получится выражение вида $3 в степени ( 2m + 1 ) \cdot ( 1 + 3 в степени ( 2a ) + 3 в степени ( 2b ) + \cdot s )$ которое не является квадратом.