Сначала докажем вспомогательное утверждение: сумма двух несократимых дробей с различными знаменателями не может равняться нулю. Действительно, пусть $\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$   — эти дроби, и для определенности, $b больше d$ Пусть $\frac{a}{b} + $\frac{c}{d}$ =0$ Тогда $ad= - bc$ Тогда d должно делиться на b, т. к. a и b взаимно просты. Но $d меньше b$ Противоречие.
а)  Должно выполняться равенство: $( 1\pm $\frac{1}{2}$ \pm $\frac{1}{3}$ \pm\ldots\pm $\frac{1}{10}$ \pm $\frac{1}{12}$ ) \pm $\frac{1}{11}$ =0$ Но по доказанному утверждению это равенство невозможно, т. к. наименьший общий знаменатель первой скобки будет взаимно прост с числом 11.
б)  Из пункта а) следует, что дробь $\frac{1}{11}$ следует вычеркнуть. Аналогично, надо вычеркнуть дроби $\frac{1}{7} ; $\frac{1}{8}$ ; \frac{1}{9}$ Далее, пусть не вычеркнута хотя бы одна из дробей $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{10}$ Тогда их вклад в общую сумму будет равен $\pm \frac{1}{5}$ $\pm \frac{1}{10}$ или $\pm \frac{3}{10}$ Наименьший общий знаменатель остальных дробей не делится на 5, поэтому по вспомогательному утверждению опять получится противоречие. Значит, дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{10}$ надо вычеркнуть. Для остальных чисел нужная расстановка + ов и - ов находится: $1 - $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{3}$ - $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{6}$ - \frac{1}{12}$