Упростим выражение:

$p_n= $\frac{2n ^2 + 4n - 16}{4 ( n - 2 )}$ = $\frac{2 ( n - 2 ) ( n + 4 )}{4 ( n - 2 )}$ = $\frac{n + 4}{2}$ ,n не = 2$

Числа pn будут натуральными, если n = 4, 6, 8, 10, … Тогда k = 4; 4,5; 5; 5,5; …, а [k] равна 4, 4, 5, 5, …
а)  В этом пункте n = 4, 6, 8, 10, и числа pn равны 4, 5, 6, 7. Среднее арифметическое этих чисел = 5,5. Целая часть среднего арифметического равна 5. Таким образом, минимальное значение A (поскольку A должно быть натуральным) = $\frac{4 \cdot 5}{5}$ или 4, а максимальное значение = $\frac{5 \cdot 7}{5}$ то есть 7.
б)  Число $A больше 20$ поэтому $a_i a_j больше 20 \cdot [ k ]$ Составим таблицу для первых значений n.

n | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 | 26 | 28

pn | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16

k | 4 | 4,5 | 5 | 5,5 | 6 | 6,5 | 7 | 7,5 | 8 | 8,5 | 9 | 9,5 | 10

$[ k ]$ | 4 | 4 | 5 | 5 | 6 | 6 | 7 | 7 | 8 | 8 | 9 | 9 | 10

Проверкой убеждаемся, что наименьшее n, при котором условие $a_i a_j больше 20 \cdot [ k ]$ выполняется, = 24. Действительно, если взять наибольшие числа $a_i, a_j$ получим $A = 13 \cdot 14 больше 20 \cdot 9$ Однако число А в этом случае = $\frac{13 \cdot 14}{9}$ то есть не является натуральным. Продолжая перебор, находим, что при n  =  28 число $A = $\frac{15 \cdot 16}{10}$ = 24$ Этим найдено наименьшее натуральное число n, при котором все условия выполнены.
в)  Из определения $A= \frac{a_ia_j}{[ k ]}$ и условия $A \cdot [ k ] =40$ заключаем, что $a_i \cdot a_j = 40$ Изучая таблицу из пункта б), подыскиваем среди чисел pn два числа, дающих в произведении 40. Наименьшее такое n = 12: 5 · 8  =  40. Однако соответствующее значение $A = \frac{5 \cdot 8}{6}$ не является натуральным. Продолжая перебор, для n  =  20 находим $A = $\frac{5 \cdot 8}{8}$ = 5$ Этим найдено искомое число n.

Ответ: а) 4 и 7; б) 28; в) 20.

Приведем другое решение пункта б)
Заметим, что последовательность возрастает, значит, максимум произведения $a_ia_j$ достигается на произведении двух последних чисел последовательности $p_n - 1p_n$ Нетрудно заметить, что $p_n - 1= $\frac{n + 2}{2}$ ,p_n= \frac{n + 4}{2}$ при этом $k= $\frac{n}{4}$ + 3$ значит, $[ k ] меньше или = $\frac{n}{4}$ + 3$ а равенство достигается при n кратном 4. Таким образом, неравенство $\frac{n + 2}{2} \cdot $\frac{n + 4}{2}$ больше 20 ( $\frac{n}{4}$ + 3 )$ будет верно для тех же n что и исходное неравенство, за исключением, возможно, одного меньшего. Решим последнее неравенство

$\frac{n + 2}{2} \cdot $\frac{n + 4}{2}$ больше 20 ( $\frac{n}{4}$ + 3 ) = сильно n ^2 - 14n - 232 больше 0 = сильно n больше 7 + $\sqrt{аргумента: 281}$ аргумента$

Минимальное n, удовлетворяющее последнему неравенству, = 24. Нетрудно проверить, что числа 23, 24, 25, 26 и 27 не удовлетворяют всем исходным условиям, а при n  =  28 можно подобрать необходимый набор чисел.