Обозначим наши числа $a_1,a_2,\ldots,a_20$ Причем, пусть для определенности, они стоят в порядке возрастания:

$1 меньше или = a_1 меньше a_2 меньше \cdot s меньше a_20 меньше 70$

Рассмотрим теперь набор чисел $b_n$ таких, что $b_n=a_n + 1$ (то есть, увеличим все данные числа на единицу). Если у этих двух наборов есть хотя бы 4 общих числа, то задача решена, поскольку найдутся 4 разности, равные единице. Пусть нет, тогда в наборе bn по крайней мере 17 новых чисел, не содержащихся в $a_n$ Тогда рассмотрим набор чисел $c_n$ таких, что $c_n=b_n + 1$ Если в наборе cn есть хотя бы четыре общих числа с набором $a_n$ или 4 числа общих с набором $a_n$ то задаче решена. Пусть нет, тогда в наборе cn по крайней мере 14 новых чисел, которых нет в наборах an и $b_n$ Аналогично построим наборы $d_n,e_n,f_n,g_n$ (каждый раз увеличивая все числа предыдущего набора на единицу). Ясно, что самое большое из всех рассмотренных чисел не больше, чем $a_20 + 6$ то есть не больше 75. В тоже время в совокупности всех наборов не менее, чем 20 + 17 + 14 + 11 + 8 + 5 + 2 = 77 чисел. Получается противоречие, так как все числа натуральные. Что и требовалось доказать.