Для начала заметим, что целая часть нашего числа (обозначим его за x) должна быть равна нулю, иначе оно не может измениться в 13 раз при перемене местами цифр в дробной части. Значит, число можно записать так: $x=0,\overlinea_1a_2a_3\ldots a_n$ По условию $13x=0,\overlinea_3a_2a_1\ldots a_n$ Вычтем из второго равенства первое. Получим:

$12x=0,1a_3 - 0,001a_3 - 0,1a_1 + 0,001a_1$ Упростив, получаем: $x= $\frac{0,099 ( a_3 - a_1 )}{12}$ =0,00825 ( a_3 - a_1 )$

Ясно, что $1 меньше или = a_3 - a_1\leqslant9$ (так как $a_3,a_1$   — это цифры и $x больше 0$ ). Переберём 9 вариантов:

$a_3 - a_1$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9

x | 0,00825 | 0,0165 | 0,02475 | 0,033 | 0,04125 | 0,0495 | 0,05775 | 0,066 | 0,07425

Непосредственной проверкой убеждаемся, что подходит только число 0,05775. При перестановке первой и третьей цифр после запятой оно превращается в число 0,75075, увеличиваясь в 13 раз.

Ответ: а)7; б) 0,75075.